Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6698 / 2722
↖ ↑ ↗
← N 51.563412°
E114.345703°		 ← 3 037.72 m → N 51.563412°
E114.389649°		 →
↑
3 038.58 m
↓
↑
3 038.58 m
↓
N 51.536086°
E114.345703°		 ← 3 039.54 m →
9 233 139 m²		 N 51.536086°
E114.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81768798828125 y=0.33233642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81768798828125 × 213)
    floor (0.81768798828125 × 8192)
    floor (6698.5)     		tx = 6698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33233642578125 × 213)
    floor (0.33233642578125 × 8192)
    floor (2722.5)     		ty = 2722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6698 / 2722 ti = "13/6698/2722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6698/2722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6698 ÷ 213
    6698 ÷ 8192     		x = 0.817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2722 ÷ 213
    2722 ÷ 8192     		y = 0.332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817626953125 × 2 - 1) × π
    0.63525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99570900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332275390625 × 2 - 1) × π
    0.33544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05384480124731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99570900} λ = 1.99570900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05384480124731))-π/2
    2×atan(2.8686593673508)-π/2
    2×1.2353738227375-π/2
    2.470747645475-1.57079632675     		φ = 0.89995132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99570900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89995132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.563412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6698 KachelY 2722 1.99570900 0.89995132 114.345703 51.563412
    Oben rechts KachelX + 1 6699 KachelY 2722 1.99647600 0.89995132 114.389649 51.563412
    Unten links KachelX 6698 KachelY + 1 2723 1.99570900 0.89947438 114.345703 51.536086
    Unten rechts KachelX + 1 6699 KachelY + 1 2723 1.99647600 0.89947438 114.389649 51.536086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89995132-0.89947438) × R
    0.000476939999999981 × 6371000     		dl = 3038.58473999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89995132-0.89947438) × R
    0.000476939999999981 × 6371000     		dr = 3038.58473999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99570900-1.99647600) × cos(0.89995132) × R
    0.000766999999999962 × 0.621648099888082 × 6371000     		do = 3037.71887404466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99570900-1.99647600) × cos(0.89947438) × R
    0.000766999999999962 × 0.622021614673869 × 6371000     		du = 3039.54407533575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89995132)-sin(0.89947438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621648099888082-0.622021614673869)×R²
    abs(1.99647600-1.99570900)×0.000373514785786511×R²
    0.000766999999999962×0.000373514785786511×6371000²
    0.000766999999999962×0.000373514785786511×40589641000000     		ar = 9233139.40449737m²