Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66954 / 49027
↖ ↑ ↗
← N 41.238577°
E  3.894653°		 ← 229.67 m → N 41.238577°
E  3.897400°		 →
↑
229.67 m
↓
↑
229.67 m
↓
N 41.236511°
E  3.894653°		 ← 229.68 m →
52 751 m²		 N 41.236511°
E  3.897400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510822296142578 y=0.374050140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510822296142578 × 217)
    floor (0.510822296142578 × 131072)
    floor (66954.5)     		tx = 66954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374050140380859 × 217)
    floor (0.374050140380859 × 131072)
    floor (49027.5)     		ty = 49027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66954 / 49027 ti = "17/66954/49027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66954/49027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66954 ÷ 217
    66954 ÷ 131072     		x = 0.510818481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49027 ÷ 217
    49027 ÷ 131072     		y = 0.374046325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510818481445312 × 2 - 1) × π
    0.021636962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06797452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.374046325683594 × 2 - 1) × π
    0.251907348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.791390275827507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06797452} λ = 0.06797452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791390275827507))-π/2
    2×atan(2.20646188546894)-π/2
    2×1.14527263350752-π/2
    2.29054526701504-1.57079632675     		φ = 0.71974894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06797452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.894653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71974894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.238577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66954 KachelY 49027 0.06797452 0.71974894 3.894653 41.238577
    Oben rechts KachelX + 1 66955 KachelY 49027 0.06802246 0.71974894 3.897400 41.238577
    Unten links KachelX 66954 KachelY + 1 49028 0.06797452 0.71971289 3.894653 41.236511
    Unten rechts KachelX + 1 66955 KachelY + 1 49028 0.06802246 0.71971289 3.897400 41.236511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71974894-0.71971289) × R
    3.60499999999542e-05 × 6371000     		dl = 229.674549999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71974894-0.71971289) × R
    3.60499999999542e-05 × 6371000     		dr = 229.674549999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06797452-0.06802246) × cos(0.71974894) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.751971250561321 × 6371000     		do = 229.671375661466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06797452-0.06802246) × cos(0.71971289) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.751995014084982 × 6371000     		du = 229.678633653265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71974894)-sin(0.71971289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751971250561321-0.751995014084982)×R²
    abs(0.06802246-0.06797452)×2.37635236605138e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37635236605138e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37635236605138e-05×40589641000000     		ar = 52750.5033465772m²