Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66947 / 66945
↖ ↑ ↗
← S  3.866995°
E  3.875428°		 ← 304.67 m → S  3.866995°
E  3.878174°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
S  3.869735°
E  3.875428°		 ← 304.67 m →
92 839 m²		 S  3.869735°
E  3.878174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510768890380859 y=0.510753631591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510768890380859 × 217)
    floor (0.510768890380859 × 131072)
    floor (66947.5)     		tx = 66947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510753631591797 × 217)
    floor (0.510753631591797 × 131072)
    floor (66945.5)     		ty = 66945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66947 / 66945 ti = "17/66947/66945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66947/66945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66947 ÷ 217
    66947 ÷ 131072     		x = 0.510765075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66945 ÷ 217
    66945 ÷ 131072     		y = 0.510749816894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510765075683594 × 2 - 1) × π
    0.0215301513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06763897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510749816894531 × 2 - 1) × π
    -0.0214996337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0675430915646591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06763897} λ = 0.06763897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0675430915646591))-π/2
    2×atan(0.934687442603843)-π/2
    2×0.751652266389221-π/2
    1.50330453277844-1.57079632675     		φ = -0.06749179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06763897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.875428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06749179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.866995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66947 KachelY 66945 0.06763897 -0.06749179 3.875428 -3.866995
    Oben rechts KachelX + 1 66948 KachelY 66945 0.06768690 -0.06749179 3.878174 -3.866995
    Unten links KachelX 66947 KachelY + 1 66946 0.06763897 -0.06753962 3.875428 -3.869735
    Unten rechts KachelX + 1 66948 KachelY + 1 66946 0.06768690 -0.06753962 3.878174 -3.869735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06749179--0.06753962) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06749179--0.06753962) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06763897-0.06768690) × cos(-0.06749179) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.997723293564872 × 6371000     		do = 304.666810301177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06763897-0.06768690) × cos(-0.06753962) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.997720066741516 × 6371000     		du = 304.665824951847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06749179)-sin(-0.06753962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997723293564872-0.997720066741516)×R²
    abs(0.06768690-0.06763897)×3.22682335607283e-06×R²
    4.79299999999877e-05×3.22682335607283e-06×6371000²
    4.79299999999877e-05×3.22682335607283e-06×40589641000000     		ar = 92839.4223297875m²