Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66946 / 66946
↖ ↑ ↗
← S  3.869735°
E  3.872681°		 ← 304.73 m → S  3.869735°
E  3.875428°		 →
↑
304.72 m
↓
↑
304.72 m
↓
S  3.872476°
E  3.872681°		 ← 304.73 m →
92 858 m²		 S  3.872476°
E  3.875428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510761260986328 y=0.510761260986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510761260986328 × 217)
    floor (0.510761260986328 × 131072)
    floor (66946.5)     		tx = 66946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.510761260986328 × 217)
    floor (0.510761260986328 × 131072)
    floor (66946.5)     		ty = 66946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66946 / 66946 ti = "17/66946/66946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66946/66946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66946 ÷ 217
    66946 ÷ 131072     		x = 0.510757446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66946 ÷ 217
    66946 ÷ 131072     		y = 0.510757446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510757446289062 × 2 - 1) × π
    0.021514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06759103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.510757446289062 × 2 - 1) × π
    -0.021514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0675910284642792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06759103} λ = 0.06759103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0675910284642792))-π/2
    2×atan(0.934642637659645)-π/2
    2×0.751628352547206-π/2
    1.50325670509441-1.57079632675     		φ = -0.06753962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06759103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.872681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.06753962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.869735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66946 KachelY 66946 0.06759103 -0.06753962 3.872681 -3.869735
    Oben rechts KachelX + 1 66947 KachelY 66946 0.06763897 -0.06753962 3.875428 -3.869735
    Unten links KachelX 66946 KachelY + 1 66947 0.06759103 -0.06758745 3.872681 -3.872476
    Unten rechts KachelX + 1 66947 KachelY + 1 66947 0.06763897 -0.06758745 3.875428 -3.872476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.06753962--0.06758745) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dl = 304.724929999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.06753962--0.06758745) × R
    4.78299999999987e-05 × 6371000     		dr = 304.724929999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06759103-0.06763897) × cos(-0.06753962) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.997720066741516 × 6371000     		do = 304.729389697442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06759103-0.06763897) × cos(-0.06758745) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.997716837635667 × 6371000     		du = 304.728403445398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.06753962)-sin(-0.06758745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997720066741516-0.997716837635667)×R²
    abs(0.06763897-0.06759103)×3.22910584915626e-06×R²
    4.79400000000102e-05×3.22910584915626e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×3.22910584915626e-06×40589641000000     		ar = 92858.491694412m²