Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66945 / 49025
↖ ↑ ↗
← N 41.242707°
E  3.869934°		 ← 229.66 m → N 41.242707°
E  3.872681°		 →
↑
229.61 m
↓
↑
229.61 m
↓
N 41.240642°
E  3.869934°		 ← 229.66 m →
52 733 m²		 N 41.240642°
E  3.872681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510753631591797 y=0.374034881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510753631591797 × 217)
    floor (0.510753631591797 × 131072)
    floor (66945.5)     		tx = 66945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.374034881591797 × 217)
    floor (0.374034881591797 × 131072)
    floor (49025.5)     		ty = 49025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66945 / 49025 ti = "17/66945/49025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66945/49025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66945 ÷ 217
    66945 ÷ 131072     		x = 0.510749816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49025 ÷ 217
    49025 ÷ 131072     		y = 0.374031066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510749816894531 × 2 - 1) × π
    0.0214996337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06754309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.374031066894531 × 2 - 1) × π
    0.251937866210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.791486149626747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06754309} λ = 0.06754309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.791486149626747))-π/2
    2×atan(2.20667343749376)-π/2
    2×1.14530867953878-π/2
    2.29061735907756-1.57079632675     		φ = 0.71982103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06754309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.869934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71982103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.242707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66945 KachelY 49025 0.06754309 0.71982103 3.869934 41.242707
    Oben rechts KachelX + 1 66946 KachelY 49025 0.06759103 0.71982103 3.872681 41.242707
    Unten links KachelX 66945 KachelY + 1 49026 0.06754309 0.71978499 3.869934 41.240642
    Unten rechts KachelX + 1 66946 KachelY + 1 49026 0.06759103 0.71978499 3.872681 41.240642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71982103-0.71978499) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dl = 229.610840000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71982103-0.71978499) × R
    3.60400000000149e-05 × 6371000     		dr = 229.610840000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06754309-0.06759103) × cos(0.71982103) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751923727174741 × 6371000     		do = 229.656860795886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06754309-0.06759103) × cos(0.71978499) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751947486060397 × 6371000     		du = 229.664117371119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71982103)-sin(0.71978499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751923727174741-0.751947486060397)×R²
    abs(0.06759103-0.06754309)×2.37588856559778e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37588856559778e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37588856559778e-05×40589641000000     		ar = 52732.5378191445m²