Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6694 / 1904
↖ ↑ ↗
← N 79.749932°
W 32.915039°		 ← 434.77 m → N 79.749932°
W 32.893066°		 →
↑
434.82 m
↓
↑
434.82 m
↓
N 79.746021°
W 32.915039°		 ← 434.93 m →
189 082 m²		 N 79.746021°
W 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408599853515625 y=0.116241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408599853515625 × 214)
    floor (0.408599853515625 × 16384)
    floor (6694.5)     		tx = 6694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116241455078125 × 214)
    floor (0.116241455078125 × 16384)
    floor (1904.5)     		ty = 1904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6694 / 1904 ti = "14/6694/1904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6694/1904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6694 ÷ 214
    6694 ÷ 16384     		x = 0.4085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1904 ÷ 214
    1904 ÷ 16384     		y = 0.1162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1162109375 × 2 - 1) × π
    0.767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4114177984873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57447581} λ = -0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4114177984873))-π/2
    2×atan(11.1497580541052)-π/2
    2×1.48134760986743-π/2
    2.96269521973487-1.57079632675     		φ = 1.39189889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39189889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.749932°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6694 KachelY 1904 -0.57447581 1.39189889 -32.915039 79.749932
    Oben rechts KachelX + 1 6695 KachelY 1904 -0.57409231 1.39189889 -32.893066 79.749932
    Unten links KachelX 6694 KachelY + 1 1905 -0.57447581 1.39183064 -32.915039 79.746021
    Unten rechts KachelX + 1 6695 KachelY + 1 1905 -0.57409231 1.39183064 -32.893066 79.746021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39189889-1.39183064) × R
    6.82499999999919e-05 × 6371000     		dl = 434.820749999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39189889-1.39183064) × R
    6.82499999999919e-05 × 6371000     		dr = 434.820749999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57447581--0.57409231) × cos(1.39189889) × R
    0.000383499999999981 × 0.177944714972114 × 6371000     		do = 434.768496279973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57447581--0.57409231) × cos(1.39183064) × R
    0.000383499999999981 × 0.178011875320804 × 6371000     		du = 434.932587715979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39189889)-sin(1.39183064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177944714972114-0.178011875320804)×R²
    abs(-0.57409231--0.57447581)×6.71603486898653e-05×R²
    0.000383499999999981×6.71603486898653e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.71603486898653e-05×40589641000000     		ar = 189082.03888158m²