Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6694 / 10715
↖ ↑ ↗
← S 48.385442°
W 32.915039°		 ← 1 622.62 m → S 48.385442°
W 32.893066°		 →
↑
1 622.38 m
↓
↑
1 622.38 m
↓
S 48.400033°
W 32.915039°		 ← 1 622.16 m →
2 632 122 m²		 S 48.400033°
W 32.893066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408599853515625 y=0.654022216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408599853515625 × 214)
    floor (0.408599853515625 × 16384)
    floor (6694.5)     		tx = 6694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654022216796875 × 214)
    floor (0.654022216796875 × 16384)
    floor (10715.5)     		ty = 10715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6694 / 10715 ti = "14/6694/10715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6694/10715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6694 ÷ 214
    6694 ÷ 16384     		x = 0.4085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10715 ÷ 214
    10715 ÷ 16384     		y = 0.65399169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.3079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967558381931213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57447581} λ = -0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967558381931213))-π/2
    2×atan(0.380009744970538)-π/2
    2×0.363155525272116-π/2
    0.726311050544231-1.57079632675     		φ = -0.84448528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84448528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.385442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6694 KachelY 10715 -0.57447581 -0.84448528 -32.915039 -48.385442
    Oben rechts KachelX + 1 6695 KachelY 10715 -0.57409231 -0.84448528 -32.893066 -48.385442
    Unten links KachelX 6694 KachelY + 1 10716 -0.57447581 -0.84473993 -32.915039 -48.400033
    Unten rechts KachelX + 1 6695 KachelY + 1 10716 -0.57409231 -0.84473993 -32.893066 -48.400033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84448528--0.84473993) × R
    0.000254650000000023 × 6371000     		dl = 1622.37515000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84448528--0.84473993) × R
    0.000254650000000023 × 6371000     		dr = 1622.37515000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57447581--0.57409231) × cos(-0.84448528) × R
    0.000383499999999981 × 0.664116190237372 × 6371000     		do = 1622.6208091088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57447581--0.57409231) × cos(-0.84473993) × R
    0.000383499999999981 × 0.663925784885643 × 6371000     		du = 1622.15559580664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84448528)-sin(-0.84473993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664116190237372-0.663925784885643)×R²
    abs(-0.57409231--0.57447581)×0.000190405351728318×R²
    0.000383499999999981×0.000190405351728318×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190405351728318×40589641000000     		ar = 2632122.31754515m²