Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66929 / 49009
↖ ↑ ↗
← N 41.275742°
E  3.825989°		 ← 229.54 m → N 41.275742°
E  3.828735°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
N 41.273678°
E  3.825989°		 ← 229.55 m →
52 677 m²		 N 41.273678°
E  3.828735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510631561279297 y=0.373912811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510631561279297 × 217)
    floor (0.510631561279297 × 131072)
    floor (66929.5)     		tx = 66929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373912811279297 × 217)
    floor (0.373912811279297 × 131072)
    floor (49009.5)     		ty = 49009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66929 / 49009 ti = "17/66929/49009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66929/49009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66929 ÷ 217
    66929 ÷ 131072     		x = 0.510627746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49009 ÷ 217
    49009 ÷ 131072     		y = 0.373908996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510627746582031 × 2 - 1) × π
    0.0212554931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06677610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373908996582031 × 2 - 1) × π
    0.252182006835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.792253140020668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06677610} λ = 0.06677610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792253140020668))-π/2
    2×atan(2.20836658405341)-π/2
    2×1.14559696576962-π/2
    2.29119393153925-1.57079632675     		φ = 0.72039760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06677610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.825989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72039760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.275742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66929 KachelY 49009 0.06677610 0.72039760 3.825989 41.275742
    Oben rechts KachelX + 1 66930 KachelY 49009 0.06682404 0.72039760 3.828735 41.275742
    Unten links KachelX 66929 KachelY + 1 49010 0.06677610 0.72036158 3.825989 41.273678
    Unten rechts KachelX + 1 66930 KachelY + 1 49010 0.06682404 0.72036158 3.828735 41.273678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72039760-0.72036158) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72039760-0.72036158) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06677610-0.06682404) × cos(0.72039760) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751543498377337 × 6371000     		do = 229.540729134069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06677610-0.06682404) × cos(0.72036158) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.751567259690822 × 6371000     		du = 229.547986450824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72039760)-sin(0.72036158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751543498377337-0.751567259690822)×R²
    abs(0.06682404-0.06677610)×2.37613134850267e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37613134850267e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37613134850267e-05×40589641000000     		ar = 52676.6242736256m²