Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66927 / 49007
↖ ↑ ↗
← N 41.279871°
E  3.820496°		 ← 229.48 m → N 41.279871°
E  3.823242°		 →
↑
229.55 m
↓
↑
229.55 m
↓
N 41.277806°
E  3.820496°		 ← 229.49 m →
52 677 m²		 N 41.277806°
E  3.823242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510616302490234 y=0.373897552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510616302490234 × 217)
    floor (0.510616302490234 × 131072)
    floor (66927.5)     		tx = 66927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373897552490234 × 217)
    floor (0.373897552490234 × 131072)
    floor (49007.5)     		ty = 49007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66927 / 49007 ti = "17/66927/49007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66927/49007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66927 ÷ 217
    66927 ÷ 131072     		x = 0.510612487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49007 ÷ 217
    49007 ÷ 131072     		y = 0.373893737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510612487792969 × 2 - 1) × π
    0.0212249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06668023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373893737792969 × 2 - 1) × π
    0.252212524414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.792349013819908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06668023} λ = 0.06668023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792349013819908))-π/2
    2×atan(2.20857831869768)-π/2
    2×1.14563299129543-π/2
    2.29126598259086-1.57079632675     		φ = 0.72046966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06668023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.820496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72046966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.279871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66927 KachelY 49007 0.06668023 0.72046966 3.820496 41.279871
    Oben rechts KachelX + 1 66928 KachelY 49007 0.06672816 0.72046966 3.823242 41.279871
    Unten links KachelX 66927 KachelY + 1 49008 0.06668023 0.72043363 3.820496 41.277806
    Unten rechts KachelX + 1 66928 KachelY + 1 49008 0.06672816 0.72043363 3.823242 41.277806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72046966-0.72043363) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dl = 229.547129999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72046966-0.72043363) × R
    3.60299999999647e-05 × 6371000     		dr = 229.547129999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06668023-0.06672816) × cos(0.72046966) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751495959630396 × 6371000     		do = 229.478331769543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06668023-0.06672816) × cos(0.72043363) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.751519729491663 × 6371000     		du = 229.485590182633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72046966)-sin(0.72043363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751495959630396-0.751519729491663)×R²
    abs(0.06672816-0.06668023)×2.37698612675086e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37698612675086e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37698612675086e-05×40589641000000     		ar = 52676.9255343278m²