Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66920 / 49000
↖ ↑ ↗
← N 41.294317°
E  3.801270°		 ← 229.48 m → N 41.294317°
E  3.804016°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
N 41.292254°
E  3.801270°		 ← 229.48 m →
52 662 m²		 N 41.292254°
E  3.804016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510562896728516 y=0.373844146728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510562896728516 × 217)
    floor (0.510562896728516 × 131072)
    floor (66920.5)     		tx = 66920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373844146728516 × 217)
    floor (0.373844146728516 × 131072)
    floor (49000.5)     		ty = 49000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66920 / 49000 ti = "17/66920/49000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66920/49000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66920 ÷ 217
    66920 ÷ 131072     		x = 0.51055908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49000 ÷ 217
    49000 ÷ 131072     		y = 0.37384033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51055908203125 × 2 - 1) × π
    0.0211181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06634467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37384033203125 × 2 - 1) × π
    0.2523193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.792684572117249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06634467} λ = 0.06634467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.792684572117249))-π/2
    2×atan(2.20931954983402)-π/2
    2×1.14575906269151-π/2
    2.29151812538302-1.57079632675     		φ = 0.72072180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06634467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.801270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72072180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.294317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66920 KachelY 49000 0.06634467 0.72072180 3.801270 41.294317
    Oben rechts KachelX + 1 66921 KachelY 49000 0.06639261 0.72072180 3.804016 41.294317
    Unten links KachelX 66920 KachelY + 1 49001 0.06634467 0.72068578 3.801270 41.292254
    Unten rechts KachelX + 1 66921 KachelY + 1 49001 0.06639261 0.72068578 3.804016 41.292254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72072180-0.72068578) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dl = 229.483419999455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72072180-0.72068578) × R
    3.60199999999145e-05 × 6371000     		dr = 229.483419999455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06634467-0.06639261) × cos(0.72072180) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.751329589482399 × 6371000     		do = 229.475395851607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06634467-0.06639261) × cos(0.72068578) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.751353359571061 × 6371000     		du = 229.482655848526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72072180)-sin(0.72068578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751329589482399-0.751353359571061)×R²
    abs(0.06639261-0.06634467)×2.37700886622783e-05×R²
    4.79400000000102e-05×2.37700886622783e-05×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.37700886622783e-05×40589641000000     		ar = 52661.631675902m²