Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6691 / 6310
↖ ↑ ↗
← S 69.256149°
E114.038086°		 ← 1 730.75 m → S 69.256149°
E114.082031°		 →
↑
1 730.11 m
↓
↑
1 730.11 m
↓
S 69.271708°
E114.038086°		 ← 1 729.51 m →
2 993 313 m²		 S 69.271708°
E114.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81683349609375 y=0.77032470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81683349609375 × 213)
    floor (0.81683349609375 × 8192)
    floor (6691.5)     		tx = 6691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77032470703125 × 213)
    floor (0.77032470703125 × 8192)
    floor (6310.5)     		ty = 6310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6691 / 6310 ti = "13/6691/6310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6691/6310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6691 ÷ 213
    6691 ÷ 8192     		x = 0.8167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6310 ÷ 213
    6310 ÷ 8192     		y = 0.770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8167724609375 × 2 - 1) × π
    0.633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99034007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770263671875 × 2 - 1) × π
    -0.54052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69811673214087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99034007} λ = 1.99034007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69811673214087))-π/2
    2×atan(0.18302789022707)-π/2
    2×0.181024247734873-π/2
    0.362048495469746-1.57079632675     		φ = -1.20874783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99034007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20874783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.256149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6691 KachelY 6310 1.99034007 -1.20874783 114.038086 -69.256149
    Oben rechts KachelX + 1 6692 KachelY 6310 1.99110706 -1.20874783 114.082031 -69.256149
    Unten links KachelX 6691 KachelY + 1 6311 1.99034007 -1.20901939 114.038086 -69.271708
    Unten rechts KachelX + 1 6692 KachelY + 1 6311 1.99110706 -1.20901939 114.082031 -69.271708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20874783--1.20901939) × R
    0.000271559999999837 × 6371000     		dl = 1730.10875999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20874783--1.20901939) × R
    0.000271559999999837 × 6371000     		dr = 1730.10875999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99034007-1.99110706) × cos(-1.20874783) × R
    0.000766990000000023 × 0.354190674447077 × 6371000     		do = 1730.75035406627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99034007-1.99110706) × cos(-1.20901939) × R
    0.000766990000000023 × 0.35393670574857 × 6371000     		du = 1729.50933772514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20874783)-sin(-1.20901939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354190674447077-0.35393670574857)×R²
    abs(1.99110706-1.99034007)×0.000253968698506413×R²
    0.000766990000000023×0.000253968698506413×6371000²
    0.000766990000000023×0.000253968698506413×40589641000000     		ar = 2993312.82071518m²