Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66904 / 66663
↖ ↑ ↗
← S  3.093893°
E  3.757324°		 ← 304.98 m → S  3.093893°
E  3.760071°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.096636°
E  3.757324°		 ← 304.98 m →
93 013 m²		 S  3.096636°
E  3.760071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510440826416016 y=0.508602142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510440826416016 × 217)
    floor (0.510440826416016 × 131072)
    floor (66904.5)     		tx = 66904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508602142333984 × 217)
    floor (0.508602142333984 × 131072)
    floor (66663.5)     		ty = 66663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66904 / 66663 ti = "17/66904/66663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66904/66663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66904 ÷ 217
    66904 ÷ 131072     		x = 0.51043701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66663 ÷ 217
    66663 ÷ 131072     		y = 0.508598327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51043701171875 × 2 - 1) × π
    0.0208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06557768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508598327636719 × 2 - 1) × π
    -0.0171966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0540248858718033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06557768} λ = 0.06557768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0540248858718033))-π/2
    2×atan(0.947408529121227)-π/2
    2×0.75839885103183-π/2
    1.51679770206366-1.57079632675     		φ = -0.05399862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06557768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.757324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05399862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.093893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66904 KachelY 66663 0.06557768 -0.05399862 3.757324 -3.093893
    Oben rechts KachelX + 1 66905 KachelY 66663 0.06562562 -0.05399862 3.760071 -3.093893
    Unten links KachelX 66904 KachelY + 1 66664 0.06557768 -0.05404649 3.757324 -3.096636
    Unten rechts KachelX + 1 66905 KachelY + 1 66664 0.06562562 -0.05404649 3.760071 -3.096636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05399862--0.05404649) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05399862--0.05404649) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06557768-0.06562562) × cos(-0.05399862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998542428742402 × 6371000     		do = 304.980560220022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06557768-0.06562562) × cos(-0.05404649) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998539843940386 × 6371000     		du = 304.979770754954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05399862)-sin(-0.05404649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998542428742402-0.998539843940386)×R²
    abs(0.06562562-0.06557768)×2.58480201598132e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.58480201598132e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.58480201598132e-06×40589641000000     		ar = 93012.7807427208m²