Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6690 / 6309
↖ ↑ ↗
← S 69.240578°
E113.994141°		 ← 1 731.99 m → S 69.240578°
E114.038086°		 →
↑
1 731.38 m
↓
↑
1 731.38 m
↓
S 69.256149°
E113.994141°		 ← 1 730.75 m →
2 997 667 m²		 S 69.256149°
E114.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81671142578125 y=0.77020263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81671142578125 × 213)
    floor (0.81671142578125 × 8192)
    floor (6690.5)     		tx = 6690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77020263671875 × 213)
    floor (0.77020263671875 × 8192)
    floor (6309.5)     		ty = 6309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6690 / 6309 ti = "13/6690/6309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6690/6309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6690 ÷ 213
    6690 ÷ 8192     		x = 0.816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6309 ÷ 213
    6309 ÷ 8192     		y = 0.7701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816650390625 × 2 - 1) × π
    0.63330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98957308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7701416015625 × 2 - 1) × π
    -0.540283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69734974174695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98957308} λ = 1.98957308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69734974174695))-π/2
    2×atan(0.183168324709758)-π/2
    2×0.181160126880301-π/2
    0.362320253760601-1.57079632675     		φ = -1.20847607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98957308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20847607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.240578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6690 KachelY 6309 1.98957308 -1.20847607 113.994141 -69.240578
    Oben rechts KachelX + 1 6691 KachelY 6309 1.99034007 -1.20847607 114.038086 -69.240578
    Unten links KachelX 6690 KachelY + 1 6310 1.98957308 -1.20874783 113.994141 -69.256149
    Unten rechts KachelX + 1 6691 KachelY + 1 6310 1.99034007 -1.20874783 114.038086 -69.256149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20847607--1.20874783) × R
    0.000271760000000176 × 6371000     		dl = 1731.38296000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20847607--1.20874783) × R
    0.000271760000000176 × 6371000     		dr = 1731.38296000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98957308-1.99034007) × cos(-1.20847607) × R
    0.000766990000000023 × 0.354444804041246 × 6371000     		do = 1731.99215662297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98957308-1.99034007) × cos(-1.20874783) × R
    0.000766990000000023 × 0.354190674447077 × 6371000     		du = 1730.75035406627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20847607)-sin(-1.20874783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354444804041246-0.354190674447077)×R²
    abs(1.99034007-1.98957308)×0.000254129594169372×R²
    0.000766990000000023×0.000254129594169372×6371000²
    0.000766990000000023×0.000254129594169372×40589641000000     		ar = 2997666.70738775m²