Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6690 / 2851
↖ ↑ ↗
← N 47.901613°
E113.994141°		 ← 3 275.93 m → N 47.901613°
E114.038086°		 →
↑
3 276.86 m
↓
↑
3 276.86 m
↓
N 47.872144°
E113.994141°		 ← 3 277.80 m →
10 737 830 m²		 N 47.872144°
E114.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81671142578125 y=0.34808349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81671142578125 × 213)
    floor (0.81671142578125 × 8192)
    floor (6690.5)     		tx = 6690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34808349609375 × 213)
    floor (0.34808349609375 × 8192)
    floor (2851.5)     		ty = 2851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6690 / 2851 ti = "13/6690/2851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6690/2851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6690 ÷ 213
    6690 ÷ 8192     		x = 0.816650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2851 ÷ 213
    2851 ÷ 8192     		y = 0.3480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816650390625 × 2 - 1) × π
    0.63330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98957308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3480224609375 × 2 - 1) × π
    0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98957308} λ = 1.98957308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954903040431519))-π/2
    2×atan(2.59841862915604)-π/2
    2×1.20341860004615-π/2
    2.40683720009229-1.57079632675     		φ = 0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98957308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6690 KachelY 2851 1.98957308 0.83604087 113.994141 47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 6691 KachelY 2851 1.99034007 0.83604087 114.038086 47.901613
    Unten links KachelX 6690 KachelY + 1 2852 1.98957308 0.83552653 113.994141 47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 6691 KachelY + 1 2852 1.99034007 0.83552653 114.038086 47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83604087-0.83552653) × R
    0.000514340000000058 × 6371000     		dl = 3276.86014000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83604087-0.83552653) × R
    0.000514340000000058 × 6371000     		dr = 3276.86014000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98957308-1.99034007) × cos(0.83604087) × R
    0.000766990000000023 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 3275.93308127898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98957308-1.99034007) × cos(0.83552653) × R
    0.000766990000000023 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 3277.79751727381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83604087)-sin(0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670787274788976)×R²
    abs(1.99034007-1.98957308)×0.000381548870363568×R²
    0.000766990000000023×0.000381548870363568×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381548870363568×40589641000000     		ar = 10737829.5200694m²