Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6690 / 1898
↖ ↑ ↗
← N 79.773365°
W 33.002930°		 ← 433.79 m → N 79.773365°
W 32.980957°		 →
↑
433.87 m
↓
↑
433.87 m
↓
N 79.769463°
W 33.002930°		 ← 433.95 m →
188 240 m²		 N 79.769463°
W 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408355712890625 y=0.115875244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408355712890625 × 214)
    floor (0.408355712890625 × 16384)
    floor (6690.5)     		tx = 6690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115875244140625 × 214)
    floor (0.115875244140625 × 16384)
    floor (1898.5)     		ty = 1898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6690 / 1898 ti = "14/6690/1898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6690/1898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6690 ÷ 214
    6690 ÷ 16384     		x = 0.4083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1898 ÷ 214
    1898 ÷ 16384     		y = 0.1158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1158447265625 × 2 - 1) × π
    0.768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41371876966907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57600979} λ = -0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41371876966907))-π/2
    2×atan(11.1754428647436)-π/2
    2×1.48155210109207-π/2
    2.96310420218414-1.57079632675     		φ = 1.39230788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39230788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.773365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6690 KachelY 1898 -0.57600979 1.39230788 -33.002930 79.773365
    Oben rechts KachelX + 1 6691 KachelY 1898 -0.57562629 1.39230788 -32.980957 79.773365
    Unten links KachelX 6690 KachelY + 1 1899 -0.57600979 1.39223978 -33.002930 79.769463
    Unten rechts KachelX + 1 6691 KachelY + 1 1899 -0.57562629 1.39223978 -32.980957 79.769463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39230788-1.39223978) × R
    6.81000000000154e-05 × 6371000     		dl = 433.865100000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39230788-1.39223978) × R
    6.81000000000154e-05 × 6371000     		dr = 433.865100000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57600979--0.57562629) × cos(1.39230788) × R
    0.000383499999999981 × 0.17754223738224 × 6371000     		do = 433.785131437903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57600979--0.57562629) × cos(1.39223978) × R
    0.000383499999999981 × 0.177609255078161 × 6371000     		du = 433.948874333465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39230788)-sin(1.39223978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17754223738224-0.177609255078161)×R²
    abs(-0.57562629--0.57600979)×6.70176959205737e-05×R²
    0.000383499999999981×6.70176959205737e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.70176959205737e-05×40589641000000     		ar = 188239.750666225m²