Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66892 / 66669
↖ ↑ ↗
← S  3.110348°
E  3.724365°		 ← 304.91 m → S  3.110348°
E  3.727112°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.113091°
E  3.724365°		 ← 304.91 m →
92 992 m²		 S  3.113091°
E  3.727112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510349273681641 y=0.508647918701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510349273681641 × 217)
    floor (0.510349273681641 × 131072)
    floor (66892.5)     		tx = 66892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508647918701172 × 217)
    floor (0.508647918701172 × 131072)
    floor (66669.5)     		ty = 66669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66892 / 66669 ti = "17/66892/66669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66892/66669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66892 ÷ 217
    66892 ÷ 131072     		x = 0.510345458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66669 ÷ 217
    66669 ÷ 131072     		y = 0.508644104003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510345458984375 × 2 - 1) × π
    0.02069091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06500244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508644104003906 × 2 - 1) × π
    -0.0172882080078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0543125072695236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06500244} λ = 0.06500244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0543125072695236))-π/2
    2×atan(0.947136073339803)-π/2
    2×0.75825525106392-π/2
    1.51651050212784-1.57079632675     		φ = -0.05428582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06500244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.724365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05428582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.110348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66892 KachelY 66669 0.06500244 -0.05428582 3.724365 -3.110348
    Oben rechts KachelX + 1 66893 KachelY 66669 0.06505037 -0.05428582 3.727112 -3.110348
    Unten links KachelX 66892 KachelY + 1 66670 0.06500244 -0.05433369 3.724365 -3.113091
    Unten rechts KachelX + 1 66893 KachelY + 1 66670 0.06505037 -0.05433369 3.727112 -3.113091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05428582--0.05433369) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05428582--0.05433369) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06500244-0.06505037) × cos(-0.05428582) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998526886692745 × 6371000     		do = 304.912197130087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06500244-0.06505037) × cos(-0.05433369) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998524288162629 × 6371000     		du = 304.911403637655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05428582)-sin(-0.05433369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998526886692745-0.998524288162629)×R²
    abs(0.06505037-0.06500244)×2.59853011630451e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.59853011630451e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.59853011630451e-06×40589641000000     		ar = 92991.9307691187m²