Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66890 / 66670
↖ ↑ ↗
← S  3.113091°
E  3.718872°		 ← 304.98 m → S  3.113091°
E  3.721619°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.115834°
E  3.718872°		 ← 304.97 m →
93 011 m²		 S  3.115834°
E  3.721619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510334014892578 y=0.508655548095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510334014892578 × 217)
    floor (0.510334014892578 × 131072)
    floor (66890.5)     		tx = 66890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508655548095703 × 217)
    floor (0.508655548095703 × 131072)
    floor (66670.5)     		ty = 66670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66890 / 66670 ti = "17/66890/66670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66890/66670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66890 ÷ 217
    66890 ÷ 131072     		x = 0.510330200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66670 ÷ 217
    66670 ÷ 131072     		y = 0.508651733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510330200195312 × 2 - 1) × π
    0.020660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06490656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508651733398438 × 2 - 1) × π
    -0.017303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0543604441691437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06490656} λ = 0.06490656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0543604441691437))-π/2
    2×atan(0.947090671661146)-π/2
    2×0.758231317953493-π/2
    1.51646263590699-1.57079632675     		φ = -0.05433369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06490656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.718872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05433369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.113091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66890 KachelY 66670 0.06490656 -0.05433369 3.718872 -3.113091
    Oben rechts KachelX + 1 66891 KachelY 66670 0.06495450 -0.05433369 3.721619 -3.113091
    Unten links KachelX 66890 KachelY + 1 66671 0.06490656 -0.05438156 3.718872 -3.115834
    Unten rechts KachelX + 1 66891 KachelY + 1 66671 0.06495450 -0.05438156 3.721619 -3.115834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05433369--0.05438156) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05433369--0.05438156) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06490656-0.06495450) × cos(-0.05433369) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998524288162629 × 6371000     		do = 304.975019620021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06490656-0.06495450) × cos(-0.05438156) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998521687344357 × 6371000     		du = 304.974225263175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05433369)-sin(-0.05438156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998524288162629-0.998521687344357)×R²
    abs(0.06495450-0.06490656)×2.60081827163638e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.60081827163638e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.60081827163638e-06×40589641000000     		ar = 93011.0902258507m²