Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6689 / 6307
↖ ↑ ↗
← S 69.209404°
E113.950195°		 ← 1 734.48 m → S 69.209404°
E113.994141°		 →
↑
1 733.87 m
↓
↑
1 733.87 m
↓
S 69.224997°
E113.950195°		 ← 1 733.23 m →
3 006 277 m²		 S 69.224997°
E113.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81658935546875 y=0.76995849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81658935546875 × 213)
    floor (0.81658935546875 × 8192)
    floor (6689.5)     		tx = 6689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76995849609375 × 213)
    floor (0.76995849609375 × 8192)
    floor (6307.5)     		ty = 6307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6689 / 6307 ti = "13/6689/6307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6689/6307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6689 ÷ 213
    6689 ÷ 8192     		x = 0.8165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6307 ÷ 213
    6307 ÷ 8192     		y = 0.7698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8165283203125 × 2 - 1) × π
    0.633056640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98880609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69581576095911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98880609} λ = 1.98880609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69581576095911))-π/2
    2×atan(0.183449517017464)-π/2
    2×0.181432177691435-π/2
    0.362864355382871-1.57079632675     		φ = -1.20793197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98880609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20793197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.209404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6689 KachelY 6307 1.98880609 -1.20793197 113.950195 -69.209404
    Oben rechts KachelX + 1 6690 KachelY 6307 1.98957308 -1.20793197 113.994141 -69.209404
    Unten links KachelX 6689 KachelY + 1 6308 1.98880609 -1.20820412 113.950195 -69.224997
    Unten rechts KachelX + 1 6690 KachelY + 1 6308 1.98957308 -1.20820412 113.994141 -69.224997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20793197--1.20820412) × R
    0.000272150000000027 × 6371000     		dl = 1733.86765000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20793197--1.20820412) × R
    0.000272150000000027 × 6371000     		dr = 1733.86765000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98880609-1.98957308) × cos(-1.20793197) × R
    0.000766990000000023 × 0.354953526912602 × 6371000     		do = 1734.47802752031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98880609-1.98957308) × cos(-1.20820412) × R
    0.000766990000000023 × 0.354699085104731 × 6371000     		du = 1733.23469933346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20793197)-sin(-1.20820412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354953526912602-0.354699085104731)×R²
    abs(1.98957308-1.98880609)×0.000254441807871097×R²
    0.000766990000000023×0.000254441807871097×6371000²
    0.000766990000000023×0.000254441807871097×40589641000000     		ar = 3006277.47684693m²