Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66889 / 66668
↖ ↑ ↗
← S  3.107606°
E  3.716126°		 ← 304.91 m → S  3.107606°
E  3.718872°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.110348°
E  3.716126°		 ← 304.91 m →
92 973 m²		 S  3.110348°
E  3.718872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510326385498047 y=0.508640289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510326385498047 × 217)
    floor (0.510326385498047 × 131072)
    floor (66889.5)     		tx = 66889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508640289306641 × 217)
    floor (0.508640289306641 × 131072)
    floor (66668.5)     		ty = 66668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66889 / 66668 ti = "17/66889/66668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66889/66668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66889 ÷ 217
    66889 ÷ 131072     		x = 0.510322570800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66668 ÷ 217
    66668 ÷ 131072     		y = 0.508636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510322570800781 × 2 - 1) × π
    0.0206451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06485863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508636474609375 × 2 - 1) × π
    -0.01727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0542645703699036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06485863} λ = 0.06485863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0542645703699036))-π/2
    2×atan(0.947181477194929)-π/2
    2×0.758279184236597-π/2
    1.51655836847319-1.57079632675     		φ = -0.05423796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06485863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.716126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05423796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.107606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66889 KachelY 66668 0.06485863 -0.05423796 3.716126 -3.107606
    Oben rechts KachelX + 1 66890 KachelY 66668 0.06490656 -0.05423796 3.718872 -3.107606
    Unten links KachelX 66889 KachelY + 1 66669 0.06485863 -0.05428582 3.716126 -3.110348
    Unten rechts KachelX + 1 66890 KachelY + 1 66669 0.06490656 -0.05428582 3.718872 -3.110348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05423796--0.05428582) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05423796--0.05428582) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06485863-0.06490656) × cos(-0.05423796) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998529482392586 × 6371000     		do = 304.912989758259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06485863-0.06490656) × cos(-0.05428582) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998526886692745 × 6371000     		du = 304.912197130087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05423796)-sin(-0.05428582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998529482392586-0.998526886692745)×R²
    abs(0.06490656-0.06485863)×2.5956998415122e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.5956998415122e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.5956998415122e-06×40589641000000     		ar = 92972.7466551088m²