Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6688 / 6297
↖ ↑ ↗
← S 69.052858°
E113.906250°		 ← 1 746.95 m → S 69.052858°
E113.950195°		 →
↑
1 746.35 m
↓
↑
1 746.35 m
↓
S 69.068563°
E113.906250°		 ← 1 745.70 m →
3 049 708 m²		 S 69.068563°
E113.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81646728515625 y=0.76873779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81646728515625 × 213)
    floor (0.81646728515625 × 8192)
    floor (6688.5)     		tx = 6688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76873779296875 × 213)
    floor (0.76873779296875 × 8192)
    floor (6297.5)     		ty = 6297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6688 / 6297 ti = "13/6688/6297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6688/6297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6688 ÷ 213
    6688 ÷ 8192     		x = 0.81640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6297 ÷ 213
    6297 ÷ 8192     		y = 0.7686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81640625 × 2 - 1) × π
    0.6328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98803910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.537353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6881458570199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98803910} λ = 1.98803910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6881458570199))-π/2
    2×atan(0.184861966944084)-π/2
    2×0.182798297731034-π/2
    0.365596595462068-1.57079632675     		φ = -1.20519973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98803910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20519973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.052858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6688 KachelY 6297 1.98803910 -1.20519973 113.906250 -69.052858
    Oben rechts KachelX + 1 6689 KachelY 6297 1.98880609 -1.20519973 113.950195 -69.052858
    Unten links KachelX 6688 KachelY + 1 6298 1.98803910 -1.20547384 113.906250 -69.068563
    Unten rechts KachelX + 1 6689 KachelY + 1 6298 1.98880609 -1.20547384 113.950195 -69.068563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20519973--1.20547384) × R
    0.000274110000000105 × 6371000     		dl = 1746.35481000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20519973--1.20547384) × R
    0.000274110000000105 × 6371000     		dr = 1746.35481000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98803910-1.98880609) × cos(-1.20519973) × R
    0.000766990000000023 × 0.357506526161724 × 6371000     		do = 1746.95324122053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98803910-1.98880609) × cos(-1.20547384) × R
    0.000766990000000023 × 0.357250518488506 × 6371000     		du = 1745.70226144316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20519973)-sin(-1.20547384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357506526161724-0.357250518488506)×R²
    abs(1.98880609-1.98803910)×0.000256007673218261×R²
    0.000766990000000023×0.000256007673218261×6371000²
    0.000766990000000023×0.000256007673218261×40589641000000     		ar = 3049707.88747062m²