Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6687 / 6303
↖ ↑ ↗
← S 69.146920°
E113.862305°		 ← 1 739.46 m → S 69.146920°
E113.906250°		 →
↑
1 738.84 m
↓
↑
1 738.84 m
↓
S 69.162558°
E113.862305°		 ← 1 738.21 m →
3 023 552 m²		 S 69.162558°
E113.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81634521484375 y=0.76947021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81634521484375 × 213)
    floor (0.81634521484375 × 8192)
    floor (6687.5)     		tx = 6687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76947021484375 × 213)
    floor (0.76947021484375 × 8192)
    floor (6303.5)     		ty = 6303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6687 / 6303 ti = "13/6687/6303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6687/6303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6687 ÷ 213
    6687 ÷ 8192     		x = 0.8162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6303 ÷ 213
    6303 ÷ 8192     		y = 0.7694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8162841796875 × 2 - 1) × π
    0.632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98727211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.538818359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69274779938342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98727211} λ = 1.98727211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69274779938342))-π/2
    2×atan(0.184013197319373)-π/2
    2×0.181977451071905-π/2
    0.36395490214381-1.57079632675     		φ = -1.20684142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98727211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.862305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20684142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.146920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6687 KachelY 6303 1.98727211 -1.20684142 113.862305 -69.146920
    Oben rechts KachelX + 1 6688 KachelY 6303 1.98803910 -1.20684142 113.906250 -69.146920
    Unten links KachelX 6687 KachelY + 1 6304 1.98727211 -1.20711435 113.862305 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 6688 KachelY + 1 6304 1.98803910 -1.20711435 113.906250 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20684142--1.20711435) × R
    0.000272929999999949 × 6371000     		dl = 1738.83702999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20684142--1.20711435) × R
    0.000272929999999949 × 6371000     		dr = 1738.83702999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98727211-1.98803910) × cos(-1.20684142) × R
    0.000766990000000023 × 0.355972853325578 × 6371000     		do = 1739.45895919764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98727211-1.98803910) × cos(-1.20711435) × R
    0.000766990000000023 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 1738.21258417743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20684142)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355972853325578-0.355717787996262)×R²
    abs(1.98803910-1.98727211)×0.000255065329316073×R²
    0.000766990000000023×0.000255065329316073×6371000²
    0.000766990000000023×0.000255065329316073×40589641000000     		ar = 3023552.04766708m²