Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6687 / 2762
↖ ↑ ↗
← N 50.457504°
E113.862305°		 ← 3 110.99 m → N 50.457504°
E113.906250°		 →
↑
3 111.91 m
↓
↑
3 111.91 m
↓
N 50.429518°
E113.862305°		 ← 3 112.83 m →
9 683 993 m²		 N 50.429518°
E113.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81634521484375 y=0.33721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81634521484375 × 213)
    floor (0.81634521484375 × 8192)
    floor (6687.5)     		tx = 6687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33721923828125 × 213)
    floor (0.33721923828125 × 8192)
    floor (2762.5)     		ty = 2762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6687 / 2762 ti = "13/6687/2762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6687/2762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6687 ÷ 213
    6687 ÷ 8192     		x = 0.8162841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2762 ÷ 213
    2762 ÷ 8192     		y = 0.337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8162841796875 × 2 - 1) × π
    0.632568359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98727211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337158203125 × 2 - 1) × π
    0.32568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02316518549048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98727211} λ = 1.98727211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02316518549048))-π/2
    2×atan(2.78198634594754)-π/2
    2×1.22572295213545-π/2
    2.45144590427089-1.57079632675     		φ = 0.88064958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98727211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.862305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88064958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.457504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6687 KachelY 2762 1.98727211 0.88064958 113.862305 50.457504
    Oben rechts KachelX + 1 6688 KachelY 2762 1.98803910 0.88064958 113.906250 50.457504
    Unten links KachelX 6687 KachelY + 1 2763 1.98727211 0.88016113 113.862305 50.429518
    Unten rechts KachelX + 1 6688 KachelY + 1 2763 1.98803910 0.88016113 113.906250 50.429518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88064958-0.88016113) × R
    0.000488450000000085 × 6371000     		dl = 3111.91495000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88064958-0.88016113) × R
    0.000488450000000085 × 6371000     		dr = 3111.91495000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98727211-1.98803910) × cos(0.88064958) × R
    0.000766990000000023 × 0.636650353248546 × 6371000     		do = 3110.98767922524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98727211-1.98803910) × cos(0.88016113) × R
    0.000766990000000023 × 0.637026946772422 × 6371000     		du = 3112.82790095272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88064958)-sin(0.88016113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636650353248546-0.637026946772422)×R²
    abs(1.98803910-1.98727211)×0.000376593523876756×R²
    0.000766990000000023×0.000376593523876756×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376593523876756×40589641000000     		ar = 9683992.5675364m²