Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6687 / 1377
↖ ↑ ↗
← N 81.618150°
W 33.068848°		 ← 356.15 m → N 81.618150°
W 33.046875°		 →
↑
356.27 m
↓
↑
356.27 m
↓
N 81.614946°
W 33.068848°		 ← 356.28 m →
126 907 m²		 N 81.614946°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408172607421875 y=0.084075927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408172607421875 × 214)
    floor (0.408172607421875 × 16384)
    floor (6687.5)     		tx = 6687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.084075927734375 × 214)
    floor (0.084075927734375 × 16384)
    floor (1377.5)     		ty = 1377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6687 / 1377 ti = "14/6687/1377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6687/1377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6687 ÷ 214
    6687 ÷ 16384     		x = 0.40814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1377 ÷ 214
    1377 ÷ 16384     		y = 0.08404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.1837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57716027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08404541015625 × 2 - 1) × π
    0.8319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61351976728546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57716027} λ = -0.57716027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61351976728546))-π/2
    2×atan(13.6470006827524)-π/2
    2×1.49765088128409-π/2
    2.99530176256818-1.57079632675     		φ = 1.42450544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57716027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.068848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42450544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.618150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6687 KachelY 1377 -0.57716027 1.42450544 -33.068848 81.618150
    Oben rechts KachelX + 1 6688 KachelY 1377 -0.57677678 1.42450544 -33.046875 81.618150
    Unten links KachelX 6687 KachelY + 1 1378 -0.57716027 1.42444952 -33.068848 81.614946
    Unten rechts KachelX + 1 6688 KachelY + 1 1378 -0.57677678 1.42444952 -33.046875 81.614946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42450544-1.42444952) × R
    5.59199999998761e-05 × 6371000     		dl = 356.26631999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42450544-1.42444952) × R
    5.59199999998761e-05 × 6371000     		dr = 356.26631999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57716027--0.57677678) × cos(1.42450544) × R
    0.000383490000000042 × 0.145769649072871 × 6371000     		do = 356.146562547988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57716027--0.57677678) × cos(1.42444952) × R
    0.000383490000000042 × 0.145824971538697 × 6371000     		du = 356.281727214713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42450544)-sin(1.42444952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145769649072871-0.145824971538697)×R²
    abs(-0.57677678--0.57716027)×5.53224658260132e-05×R²
    0.000383490000000042×5.53224658260132e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.53224658260132e-05×40589641000000     		ar = 126907.102561879m²