Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66864 / 66606
↖ ↑ ↗
← S  2.937555°
E  3.647461°		 ← 305.02 m → S  2.937555°
E  3.650208°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.940298°
E  3.647461°		 ← 305.02 m →
93 026 m²		 S  2.940298°
E  3.650208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510135650634766 y=0.508167266845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510135650634766 × 217)
    floor (0.510135650634766 × 131072)
    floor (66864.5)     		tx = 66864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508167266845703 × 217)
    floor (0.508167266845703 × 131072)
    floor (66606.5)     		ty = 66606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66864 / 66606 ti = "17/66864/66606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66864/66606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66864 ÷ 217
    66864 ÷ 131072     		x = 0.5101318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66606 ÷ 217
    66606 ÷ 131072     		y = 0.508163452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5101318359375 × 2 - 1) × π
    0.020263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06366020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508163452148438 × 2 - 1) × π
    -0.016326904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0512924825934601
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06366020} λ = 0.06366020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0512924825934601))-π/2
    2×atan(0.950000771204699)-π/2
    2×0.759763160239451-π/2
    1.5195263204789-1.57079632675     		φ = -0.05127001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06366020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05127001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.937555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66864 KachelY 66606 0.06366020 -0.05127001 3.647461 -2.937555
    Oben rechts KachelX + 1 66865 KachelY 66606 0.06370814 -0.05127001 3.650208 -2.937555
    Unten links KachelX 66864 KachelY + 1 66607 0.06366020 -0.05131788 3.647461 -2.940298
    Unten rechts KachelX + 1 66865 KachelY + 1 66607 0.06370814 -0.05131788 3.650208 -2.940298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05127001--0.05131788) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05127001--0.05131788) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06366020-0.06370814) × cos(-0.05127001) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998685980912541 × 6371000     		do = 305.024404747815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06366020-0.06370814) × cos(-0.05131788) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998683526547991 × 6371000     		du = 305.023655121706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05127001)-sin(-0.05131788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998685980912541-0.998683526547991)×R²
    abs(0.06370814-0.06366020)×2.45436454948678e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.45436454948678e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.45436454948678e-06×40589641000000     		ar = 93026.1585117575m²