Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66856 / 66660
↖ ↑ ↗
← S  3.085665°
E  3.625488°		 ← 304.92 m → S  3.085665°
E  3.628235°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.088408°
E  3.625488°		 ← 304.92 m →
92 994 m²		 S  3.088408°
E  3.628235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510074615478516 y=0.508579254150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510074615478516 × 217)
    floor (0.510074615478516 × 131072)
    floor (66856.5)     		tx = 66856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508579254150391 × 217)
    floor (0.508579254150391 × 131072)
    floor (66660.5)     		ty = 66660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66856 / 66660 ti = "17/66856/66660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66856/66660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66856 ÷ 217
    66856 ÷ 131072     		x = 0.51007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66660 ÷ 217
    66660 ÷ 131072     		y = 0.508575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51007080078125 × 2 - 1) × π
    0.0201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06327671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.01715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06327671} λ = 0.06327671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0538810751729431))-π/2
    2×atan(0.947544786401298)-π/2
    2×0.758470651852476-π/2
    1.51694130370495-1.57079632675     		φ = -0.05385502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06327671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05385502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.085665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66856 KachelY 66660 0.06327671 -0.05385502 3.625488 -3.085665
    Oben rechts KachelX + 1 66857 KachelY 66660 0.06332464 -0.05385502 3.628235 -3.085665
    Unten links KachelX 66856 KachelY + 1 66661 0.06327671 -0.05390289 3.625488 -3.088408
    Unten rechts KachelX + 1 66857 KachelY + 1 66661 0.06332464 -0.05390289 3.628235 -3.088408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05385502--0.05390289) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05385502--0.05390289) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06327671-0.06332464) × cos(-0.05385502) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998550168880956 × 6371000     		do = 304.919306626341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06327671-0.06332464) × cos(-0.05390289) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99854759094307 × 6371000     		du = 304.918519421996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05385502)-sin(-0.05390289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998550168880956-0.99854759094307)×R²
    abs(0.06332464-0.06327671)×2.57793788582816e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.57793788582816e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.57793788582816e-06×40589641000000     		ar = 92994.099980516m²