Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66854 / 66659
↖ ↑ ↗
← S  3.082923°
E  3.619995°		 ← 304.98 m → S  3.082923°
E  3.622742°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.085665°
E  3.619995°		 ← 304.98 m →
92 994 m²		 S  3.085665°
E  3.622742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510059356689453 y=0.508571624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510059356689453 × 217)
    floor (0.510059356689453 × 131072)
    floor (66854.5)     		tx = 66854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508571624755859 × 217)
    floor (0.508571624755859 × 131072)
    floor (66659.5)     		ty = 66659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66854 / 66659 ti = "17/66854/66659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66854/66659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66854 ÷ 217
    66854 ÷ 131072     		x = 0.510055541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66659 ÷ 217
    66659 ÷ 131072     		y = 0.508567810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510055541992188 × 2 - 1) × π
    0.020111083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06318083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508567810058594 × 2 - 1) × π
    -0.0171356201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0538331382733231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06318083} λ = 0.06318083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0538331382733231))-π/2
    2×atan(0.94759020984933)-π/2
    2×0.758494585582948-π/2
    1.5169891711659-1.57079632675     		φ = -0.05380716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06318083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.619995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05380716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.082923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66854 KachelY 66659 0.06318083 -0.05380716 3.619995 -3.082923
    Oben rechts KachelX + 1 66855 KachelY 66659 0.06322877 -0.05380716 3.622742 -3.082923
    Unten links KachelX 66854 KachelY + 1 66660 0.06318083 -0.05385502 3.619995 -3.085665
    Unten rechts KachelX + 1 66855 KachelY + 1 66660 0.06322877 -0.05385502 3.622742 -3.085665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05380716--0.05385502) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05380716--0.05385502) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06318083-0.06322877) × cos(-0.05380716) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.998552743992815 × 6371000     		do = 304.983710763101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06318083-0.06322877) × cos(-0.05385502) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.998550168880956 × 6371000     		du = 304.982924257656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05380716)-sin(-0.05385502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998552743992815-0.998550168880956)×R²
    abs(0.06322877-0.06318083)×2.57511185919324e-06×R²
    4.79400000000102e-05×2.57511185919324e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×2.57511185919324e-06×40589641000000     		ar = 92994.3115587525m²