Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6685 / 1357
↖ ↑ ↗
← N 81.681966°
W 33.112793°		 ← 353.45 m → N 81.681966°
W 33.090821°		 →
↑
353.53 m
↓
↑
353.53 m
↓
N 81.678786°
W 33.112793°		 ← 353.59 m →
124 979 m²		 N 81.678786°
W 33.090821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408050537109375 y=0.082855224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408050537109375 × 214)
    floor (0.408050537109375 × 16384)
    floor (6685.5)     		tx = 6685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082855224609375 × 214)
    floor (0.082855224609375 × 16384)
    floor (1357.5)     		ty = 1357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6685 / 1357 ti = "14/6685/1357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6685/1357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6685 ÷ 214
    6685 ÷ 16384     		x = 0.40802001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1357 ÷ 214
    1357 ÷ 16384     		y = 0.08282470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40802001953125 × 2 - 1) × π
    -0.1839599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57792726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08282470703125 × 2 - 1) × π
    0.8343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62118967122467
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57792726} λ = -0.57792726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62118967122467))-π/2
    2×atan(13.7520743042387)-π/2
    2×1.49820778522753-π/2
    2.99641557045507-1.57079632675     		φ = 1.42561924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57792726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.112793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42561924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.681966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6685 KachelY 1357 -0.57792726 1.42561924 -33.112793 81.681966
    Oben rechts KachelX + 1 6686 KachelY 1357 -0.57754377 1.42561924 -33.090821 81.681966
    Unten links KachelX 6685 KachelY + 1 1358 -0.57792726 1.42556375 -33.112793 81.678786
    Unten rechts KachelX + 1 6686 KachelY + 1 1358 -0.57754377 1.42556375 -33.090821 81.678786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42561924-1.42556375) × R
    5.54900000000469e-05 × 6371000     		dl = 353.526790000299m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42561924-1.42556375) × R
    5.54900000000469e-05 × 6371000     		dr = 353.526790000299m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57792726--0.57754377) × cos(1.42561924) × R
    0.000383490000000042 × 0.144667655873391 × 6371000     		do = 353.454156464537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57792726--0.57754377) × cos(1.42556375) × R
    0.000383490000000042 × 0.144722561912631 × 6371000     		du = 353.588303711669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42561924)-sin(1.42556375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144667655873391-0.144722561912631)×R²
    abs(-0.57754377--0.57792726)×5.49060392402434e-05×R²
    0.000383490000000042×5.49060392402434e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.49060392402434e-05×40589641000000     		ar = 124979.225701106m²