Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66845 / 66637
↖ ↑ ↗
← S  3.022584°
E  3.595276°		 ← 305 m → S  3.022584°
E  3.598023°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.025327°
E  3.595276°		 ← 305 m →
93 019 m²		 S  3.025327°
E  3.598023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509990692138672 y=0.508403778076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509990692138672 × 217)
    floor (0.509990692138672 × 131072)
    floor (66845.5)     		tx = 66845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508403778076172 × 217)
    floor (0.508403778076172 × 131072)
    floor (66637.5)     		ty = 66637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66845 / 66637 ti = "17/66845/66637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66845/66637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66845 ÷ 217
    66845 ÷ 131072     		x = 0.509986877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66637 ÷ 217
    66637 ÷ 131072     		y = 0.508399963378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509986877441406 × 2 - 1) × π
    0.0199737548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06274940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508399963378906 × 2 - 1) × π
    -0.0167999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0527785264816818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06274940} λ = 0.06274940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0527785264816818))-π/2
    2×atan(0.948590076801349)-π/2
    2×0.759021143167521-π/2
    1.51804228633504-1.57079632675     		φ = -0.05275404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06274940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.595276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05275404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.022584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66845 KachelY 66637 0.06274940 -0.05275404 3.595276 -3.022584
    Oben rechts KachelX + 1 66846 KachelY 66637 0.06279734 -0.05275404 3.598023 -3.022584
    Unten links KachelX 66845 KachelY + 1 66638 0.06274940 -0.05280191 3.595276 -3.025327
    Unten rechts KachelX + 1 66846 KachelY + 1 66638 0.06279734 -0.05280191 3.598023 -3.025327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05275404--0.05280191) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05275404--0.05280191) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06274940-0.06279734) × cos(-0.05275404) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998608828311334 × 6371000     		do = 305.000840357499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06274940-0.06279734) × cos(-0.05280191) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998606303002432 × 6371000     		du = 305.000069063159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05275404)-sin(-0.05280191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998608828311334-0.998606303002432)×R²
    abs(0.06279734-0.06274940)×2.52530890110236e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.52530890110236e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.52530890110236e-06×40589641000000     		ar = 93018.9685452005m²