Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66843 / 66622
↖ ↑ ↗
← S  2.981441°
E  3.589783°		 ← 304.95 m → S  2.981441°
E  3.592529°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.984185°
E  3.589783°		 ← 304.95 m →
93 022 m²		 S  2.984185°
E  3.592529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509975433349609 y=0.508289337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509975433349609 × 217)
    floor (0.509975433349609 × 131072)
    floor (66843.5)     		tx = 66843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508289337158203 × 217)
    floor (0.508289337158203 × 131072)
    floor (66622.5)     		ty = 66622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66843 / 66622 ti = "17/66843/66622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66843/66622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66843 ÷ 217
    66843 ÷ 131072     		x = 0.509971618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66622 ÷ 217
    66622 ÷ 131072     		y = 0.508285522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509971618652344 × 2 - 1) × π
    0.0199432373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06265353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508285522460938 × 2 - 1) × π
    -0.016571044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.052059472987381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06265353} λ = 0.06265353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.052059472987381))-π/2
    2×atan(0.949272409098043)-π/2
    2×0.759380176526778-π/2
    1.51876035305356-1.57079632675     		φ = -0.05203597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06265353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.589783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05203597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.981441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66843 KachelY 66622 0.06265353 -0.05203597 3.589783 -2.981441
    Oben rechts KachelX + 1 66844 KachelY 66622 0.06270146 -0.05203597 3.592529 -2.981441
    Unten links KachelX 66843 KachelY + 1 66623 0.06265353 -0.05208385 3.589783 -2.984185
    Unten rechts KachelX + 1 66844 KachelY + 1 66623 0.06270146 -0.05208385 3.592529 -2.984185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05203597--0.05208385) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05203597--0.05208385) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06265353-0.06270146) × cos(-0.05203597) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998646434379994 × 6371000     		do = 304.948702454547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06265353-0.06270146) × cos(-0.05208385) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998643942877286 × 6371000     		du = 304.947941644222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05203597)-sin(-0.05208385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998646434379994-0.998643942877286)×R²
    abs(0.06270146-0.06265353)×2.49150270859033e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.49150270859033e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.49150270859033e-06×40589641000000     		ar = 93022.4973958689m²