Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66834 / 66638
↖ ↑ ↗
← S  3.025327°
E  3.565064°		 ← 304.94 m → S  3.025327°
E  3.567810°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.028069°
E  3.565064°		 ← 304.94 m →
92 999 m²		 S  3.028069°
E  3.567810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509906768798828 y=0.508411407470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509906768798828 × 217)
    floor (0.509906768798828 × 131072)
    floor (66834.5)     		tx = 66834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508411407470703 × 217)
    floor (0.508411407470703 × 131072)
    floor (66638.5)     		ty = 66638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66834 / 66638 ti = "17/66834/66638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66834/66638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66834 ÷ 217
    66834 ÷ 131072     		x = 0.509902954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66638 ÷ 217
    66638 ÷ 131072     		y = 0.508407592773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509902954101562 × 2 - 1) × π
    0.019805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06222210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508407592773438 × 2 - 1) × π
    -0.016815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0528264633813019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06222210} λ = 0.06222210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0528264633813019))-π/2
    2×atan(0.948544605423943)-π/2
    2×0.7589972080922-π/2
    1.5179944161844-1.57079632675     		φ = -0.05280191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06222210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.565064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05280191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.025327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66834 KachelY 66638 0.06222210 -0.05280191 3.565064 -3.025327
    Oben rechts KachelX + 1 66835 KachelY 66638 0.06227003 -0.05280191 3.567810 -3.025327
    Unten links KachelX 66834 KachelY + 1 66639 0.06222210 -0.05284978 3.565064 -3.028069
    Unten rechts KachelX + 1 66835 KachelY + 1 66639 0.06227003 -0.05284978 3.567810 -3.028069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05280191--0.05284978) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05280191--0.05284978) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06222210-0.06227003) × cos(-0.05280191) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998606303002432 × 6371000     		do = 304.936447855584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06222210-0.06227003) × cos(-0.05284978) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998603775405188 × 6371000     		du = 304.935676023358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05280191)-sin(-0.05284978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998606303002432-0.998603775405188)×R²
    abs(0.06227003-0.06222210)×2.52759724428397e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.52759724428397e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.52759724428397e-06×40589641000000     		ar = 92999.3300527703m²