Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66833 / 66639
↖ ↑ ↗
← S  3.028069°
E  3.562317°		 ← 305 m → S  3.028069°
E  3.565064°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.030812°
E  3.562317°		 ← 305 m →
93 018 m²		 S  3.030812°
E  3.565064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509899139404297 y=0.508419036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509899139404297 × 217)
    floor (0.509899139404297 × 131072)
    floor (66833.5)     		tx = 66833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508419036865234 × 217)
    floor (0.508419036865234 × 131072)
    floor (66639.5)     		ty = 66639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66833 / 66639 ti = "17/66833/66639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66833/66639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66833 ÷ 217
    66833 ÷ 131072     		x = 0.509895324707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66639 ÷ 217
    66639 ÷ 131072     		y = 0.508415222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509895324707031 × 2 - 1) × π
    0.0197906494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06217416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508415222167969 × 2 - 1) × π
    -0.0168304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0528744002809219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06217416} λ = 0.06217416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0528744002809219))-π/2
    2×atan(0.948499136226243)-π/2
    2×0.758973273077434-π/2
    1.51794654615487-1.57079632675     		φ = -0.05284978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06217416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.562317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05284978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.028069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66833 KachelY 66639 0.06217416 -0.05284978 3.562317 -3.028069
    Oben rechts KachelX + 1 66834 KachelY 66639 0.06222210 -0.05284978 3.565064 -3.028069
    Unten links KachelX 66833 KachelY + 1 66640 0.06217416 -0.05289765 3.562317 -3.030812
    Unten rechts KachelX + 1 66834 KachelY + 1 66640 0.06222210 -0.05289765 3.565064 -3.030812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05284978--0.05289765) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05284978--0.05289765) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06217416-0.06222210) × cos(-0.05284978) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998603775405188 × 6371000     		do = 304.999297069944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06217416-0.06222210) × cos(-0.05289765) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998601245519606 × 6371000     		du = 304.998524377768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05284978)-sin(-0.05289765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998603775405188-0.998601245519606)×R²
    abs(0.06222210-0.06217416)×2.52988558169243e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.52988558169243e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.52988558169243e-06×40589641000000     		ar = 93018.4976605701m²