Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66831 / 66644
↖ ↑ ↗
← S  3.041783°
E  3.556824°		 ← 304.93 m → S  3.041783°
E  3.559570°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.044526°
E  3.556824°		 ← 304.93 m →
92 998 m²		 S  3.044526°
E  3.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509883880615234 y=0.508457183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509883880615234 × 217)
    floor (0.509883880615234 × 131072)
    floor (66831.5)     		tx = 66831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508457183837891 × 217)
    floor (0.508457183837891 × 131072)
    floor (66644.5)     		ty = 66644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66831 / 66644 ti = "17/66831/66644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66831/66644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66831 ÷ 217
    66831 ÷ 131072     		x = 0.509880065917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66644 ÷ 217
    66644 ÷ 131072     		y = 0.508453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509880065917969 × 2 - 1) × π
    0.0197601318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06207829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.01690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06207829} λ = 0.06207829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0531140847790222))-π/2
    2×atan(0.948271822929653)-π/2
    2×0.758853598913847-π/2
    1.51770719782769-1.57079632675     		φ = -0.05308913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06207829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.556824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05308913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.041783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66831 KachelY 66644 0.06207829 -0.05308913 3.556824 -3.041783
    Oben rechts KachelX + 1 66832 KachelY 66644 0.06212622 -0.05308913 3.559570 -3.041783
    Unten links KachelX 66831 KachelY + 1 66645 0.06207829 -0.05313700 3.556824 -3.044526
    Unten rechts KachelX + 1 66832 KachelY + 1 66645 0.06212622 -0.05313700 3.559570 -3.044526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05308913--0.05313700) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05308913--0.05313700) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06207829-0.06212622) × cos(-0.05308913) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998591103094022 × 6371000     		do = 304.93180638074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06207829-0.06212622) × cos(-0.05313700) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99858856176684 × 6371000     		du = 304.931030355913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05308913)-sin(-0.05313700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998591103094022-0.99858856176684)×R²
    abs(0.06212622-0.06207829)×2.54132718158218e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.54132718158218e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.54132718158218e-06×40589641000000     		ar = 92997.9138575074m²