Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6682 / 6300
↖ ↑ ↗
← S 69.099940°
E113.642578°		 ← 1 743.20 m → S 69.099940°
E113.686523°		 →
↑
1 742.60 m
↓
↑
1 742.60 m
↓
S 69.115611°
E113.642578°		 ← 1 741.95 m →
3 036 610 m²		 S 69.115611°
E113.686523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81573486328125 y=0.76910400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81573486328125 × 213)
    floor (0.81573486328125 × 8192)
    floor (6682.5)     		tx = 6682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76910400390625 × 213)
    floor (0.76910400390625 × 8192)
    floor (6300.5)     		ty = 6300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6682 / 6300 ti = "13/6682/6300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6682/6300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6682 ÷ 213
    6682 ÷ 8192     		x = 0.815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6300 ÷ 213
    6300 ÷ 8192     		y = 0.76904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.815673828125 × 2 - 1) × π
    0.63134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98343716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69044682820166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98343716} λ = 1.98343716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69044682820166))-π/2
    2×atan(0.184437093883333)-π/2
    2×0.182387433283499-π/2
    0.364774866566997-1.57079632675     		φ = -1.20602146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98343716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20602146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.099940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6682 KachelY 6300 1.98343716 -1.20602146 113.642578 -69.099940
    Oben rechts KachelX + 1 6683 KachelY 6300 1.98420415 -1.20602146 113.686523 -69.099940
    Unten links KachelX 6682 KachelY + 1 6301 1.98343716 -1.20629498 113.642578 -69.115611
    Unten rechts KachelX + 1 6683 KachelY + 1 6301 1.98420415 -1.20629498 113.686523 -69.115611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20602146--1.20629498) × R
    0.000273519999999916 × 6371000     		dl = 1742.59591999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20602146--1.20629498) × R
    0.000273519999999916 × 6371000     		dr = 1742.59591999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98343716-1.98420415) × cos(-1.20602146) × R
    0.000766990000000023 × 0.356738983156393 × 6371000     		do = 1743.20264747519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98343716-1.98420415) × cos(-1.20629498) × R
    0.000766990000000023 × 0.356483446310132 × 6371000     		du = 1741.95396839059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20602146)-sin(-1.20629498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356738983156393-0.356483446310132)×R²
    abs(1.98420415-1.98343716)×0.000255536846261728×R²
    0.000766990000000023×0.000255536846261728×6371000²
    0.000766990000000023×0.000255536846261728×40589641000000     		ar = 3036609.86861516m²