Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66818 / 66650
↖ ↑ ↗
← S  3.058239°
E  3.521118°		 ← 304.93 m → S  3.058239°
E  3.523865°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.060982°
E  3.521118°		 ← 304.93 m →
92 996 m²		 S  3.060982°
E  3.523865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509784698486328 y=0.508502960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509784698486328 × 217)
    floor (0.509784698486328 × 131072)
    floor (66818.5)     		tx = 66818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508502960205078 × 217)
    floor (0.508502960205078 × 131072)
    floor (66650.5)     		ty = 66650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66818 / 66650 ti = "17/66818/66650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66818/66650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66818 ÷ 217
    66818 ÷ 131072     		x = 0.509780883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66650 ÷ 217
    66650 ÷ 131072     		y = 0.508499145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509780883789062 × 2 - 1) × π
    0.019561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06145511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508499145507812 × 2 - 1) × π
    -0.016998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0534017061767426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06145511} λ = 0.06145511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0534017061767426))-π/2
    2×atan(0.947999118882163)-π/2
    2×0.758709991927299-π/2
    1.5174199838546-1.57079632675     		φ = -0.05337634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06145511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.521118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05337634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.058239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66818 KachelY 66650 0.06145511 -0.05337634 3.521118 -3.058239
    Oben rechts KachelX + 1 66819 KachelY 66650 0.06150304 -0.05337634 3.523865 -3.058239
    Unten links KachelX 66818 KachelY + 1 66651 0.06145511 -0.05342421 3.521118 -3.060982
    Unten rechts KachelX + 1 66819 KachelY + 1 66651 0.06150304 -0.05342421 3.523865 -3.060982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05337634--0.05342421) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05337634--0.05342421) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06145511-0.06150304) × cos(-0.05337634) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998575821340021 × 6371000     		do = 304.927139913316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06145511-0.06150304) × cos(-0.05342421) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99857326628359 × 6371000     		du = 304.926359696098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05337634)-sin(-0.05342421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998575821340021-0.99857326628359)×R²
    abs(0.06150304-0.06145511)×2.55505643120824e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.55505643120824e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.55505643120824e-06×40589641000000     		ar = 92996.4900400519m²