Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66815 / 48906
↖ ↑ ↗
← N 41.488006°
E  3.512878°		 ← 228.79 m → N 41.488006°
E  3.515625°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
N 41.485949°
E  3.512878°		 ← 228.80 m →
52 345 m²		 N 41.485949°
E  3.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509761810302734 y=0.373126983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509761810302734 × 217)
    floor (0.509761810302734 × 131072)
    floor (66815.5)     		tx = 66815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373126983642578 × 217)
    floor (0.373126983642578 × 131072)
    floor (48906.5)     		ty = 48906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66815 / 48906 ti = "17/66815/48906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66815/48906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66815 ÷ 217
    66815 ÷ 131072     		x = 0.509757995605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48906 ÷ 217
    48906 ÷ 131072     		y = 0.373123168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509757995605469 × 2 - 1) × π
    0.0195159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06131129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373123168945312 × 2 - 1) × π
    0.253753662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.797190640681534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06131129} λ = 0.06131129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797190640681534))-π/2
    2×atan(2.21929735866836)-π/2
    2×1.14744931640954-π/2
    2.29489863281908-1.57079632675     		φ = 0.72410231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06131129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.512878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72410231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.488006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66815 KachelY 48906 0.06131129 0.72410231 3.512878 41.488006
    Oben rechts KachelX + 1 66816 KachelY 48906 0.06135923 0.72410231 3.515625 41.488006
    Unten links KachelX 66815 KachelY + 1 48907 0.06131129 0.72406640 3.512878 41.485949
    Unten rechts KachelX + 1 66816 KachelY + 1 48907 0.06135923 0.72406640 3.515625 41.485949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72410231-0.72406640) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72410231-0.72406640) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06131129-0.06135923) × cos(0.72410231) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.749094410353625 × 6371000     		do = 228.792714612135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06131129-0.06135923) × cos(0.72406640) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.749118198926122 × 6371000     		du = 228.799980254494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72410231)-sin(0.72406640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.749094410353625-0.749118198926122)×R²
    abs(0.06135923-0.06131129)×2.37885724969633e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37885724969633e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37885724969633e-05×40589641000000     		ar = 52344.6255298629m²