Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66813 / 48899
↖ ↑ ↗
← N 41.502406°
E  3.507385°		 ← 228.74 m → N 41.502406°
E  3.510132°		 →
↑
228.72 m
↓
↑
228.72 m
↓
N 41.500350°
E  3.507385°		 ← 228.75 m →
52 318 m²		 N 41.500350°
E  3.510132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509746551513672 y=0.373073577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509746551513672 × 217)
    floor (0.509746551513672 × 131072)
    floor (66813.5)     		tx = 66813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.373073577880859 × 217)
    floor (0.373073577880859 × 131072)
    floor (48899.5)     		ty = 48899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66813 / 48899 ti = "17/66813/48899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66813/48899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66813 ÷ 217
    66813 ÷ 131072     		x = 0.509742736816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48899 ÷ 217
    48899 ÷ 131072     		y = 0.373069763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509742736816406 × 2 - 1) × π
    0.0194854736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06121542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.373069763183594 × 2 - 1) × π
    0.253860473632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.797526198978874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06121542} λ = 0.06121542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.797526198978874))-π/2
    2×atan(2.22004218727105)-π/2
    2×1.14757498486285-π/2
    2.2951499697257-1.57079632675     		φ = 0.72435364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06121542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.507385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72435364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.502406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66813 KachelY 48899 0.06121542 0.72435364 3.507385 41.502406
    Oben rechts KachelX + 1 66814 KachelY 48899 0.06126336 0.72435364 3.510132 41.502406
    Unten links KachelX 66813 KachelY + 1 48900 0.06121542 0.72431774 3.507385 41.500350
    Unten rechts KachelX + 1 66814 KachelY + 1 48900 0.06126336 0.72431774 3.510132 41.500350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72435364-0.72431774) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dl = 228.718899999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72435364-0.72431774) × R
    3.58999999999776e-05 × 6371000     		dr = 228.718899999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06121542-0.06126336) × cos(0.72435364) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748927889806533 × 6371000     		do = 228.741854950814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06121542-0.06126336) × cos(0.72431774) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748951678512912 × 6371000     		du = 228.749120634064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72435364)-sin(0.72431774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748927889806533-0.748951678512912)×R²
    abs(0.06126336-0.06121542)×2.37887063787579e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37887063787579e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37887063787579e-05×40589641000000     		ar = 52318.4163535355m²