Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66812 / 66649
↖ ↑ ↗
← S  3.055496°
E  3.504638°		 ← 304.99 m → S  3.055496°
E  3.507385°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.058239°
E  3.504638°		 ← 304.99 m →
93 016 m²		 S  3.058239°
E  3.507385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509738922119141 y=0.508495330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509738922119141 × 217)
    floor (0.509738922119141 × 131072)
    floor (66812.5)     		tx = 66812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508495330810547 × 217)
    floor (0.508495330810547 × 131072)
    floor (66649.5)     		ty = 66649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66812 / 66649 ti = "17/66812/66649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66812/66649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66812 ÷ 217
    66812 ÷ 131072     		x = 0.509735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66649 ÷ 217
    66649 ÷ 131072     		y = 0.508491516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509735107421875 × 2 - 1) × π
    0.01947021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06116748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508491516113281 × 2 - 1) × π
    -0.0169830322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0533537692771225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06116748} λ = 0.06116748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0533537692771225))-π/2
    2×atan(0.948044564110007)-π/2
    2×0.758733926272347-π/2
    1.51746785254469-1.57079632675     		φ = -0.05332847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06116748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.504638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05332847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.055496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66812 KachelY 66649 0.06116748 -0.05332847 3.504638 -3.055496
    Oben rechts KachelX + 1 66813 KachelY 66649 0.06121542 -0.05332847 3.507385 -3.055496
    Unten links KachelX 66812 KachelY + 1 66650 0.06116748 -0.05337634 3.504638 -3.058239
    Unten rechts KachelX + 1 66813 KachelY + 1 66650 0.06121542 -0.05337634 3.507385 -3.058239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05332847--0.05337634) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05332847--0.05337634) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06116748-0.06121542) × cos(-0.05332847) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998578374108179 × 6371000     		do = 304.991538859964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06116748-0.06121542) × cos(-0.05337634) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998575821340021 × 6371000     		du = 304.99075917886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05332847)-sin(-0.05337634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998578374108179-0.998575821340021)×R²
    abs(0.06121542-0.06116748)×2.55276815797068e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.55276815797068e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.55276815797068e-06×40589641000000     		ar = 93016.1304977318m²