Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66810 / 48886
↖ ↑ ↗
← N 41.529142°
E  3.499146°		 ← 228.65 m → N 41.529142°
E  3.501892°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
N 41.527086°
E  3.499146°		 ← 228.65 m →
52 268 m²		 N 41.527086°
E  3.501892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509723663330078 y=0.372974395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509723663330078 × 217)
    floor (0.509723663330078 × 131072)
    floor (66810.5)     		tx = 66810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372974395751953 × 217)
    floor (0.372974395751953 × 131072)
    floor (48886.5)     		ty = 48886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66810 / 48886 ti = "17/66810/48886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66810/48886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66810 ÷ 217
    66810 ÷ 131072     		x = 0.509719848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48886 ÷ 217
    48886 ÷ 131072     		y = 0.372970581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509719848632812 × 2 - 1) × π
    0.019439697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.06107161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372970581054688 × 2 - 1) × π
    0.254058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.798149378673935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06107161} λ = 0.06107161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798149378673935))-π/2
    2×atan(2.22142610365384)-π/2
    2×1.14780829500463-π/2
    2.29561659000926-1.57079632675     		φ = 0.72482026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06107161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.499146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72482026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.529142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66810 KachelY 48886 0.06107161 0.72482026 3.499146 41.529142
    Oben rechts KachelX + 1 66811 KachelY 48886 0.06111955 0.72482026 3.501892 41.529142
    Unten links KachelX 66810 KachelY + 1 48887 0.06107161 0.72478438 3.499146 41.527086
    Unten rechts KachelX + 1 66811 KachelY + 1 48887 0.06111955 0.72478438 3.501892 41.527086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72482026-0.72478438) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72482026-0.72478438) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06107161-0.06111955) × cos(0.72482026) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748618601839302 × 6371000     		do = 228.64739044455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06107161-0.06111955) × cos(0.72478438) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748642389829593 × 6371000     		du = 228.654655909087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72482026)-sin(0.72478438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748618601839302-0.748642389829593)×R²
    abs(0.06111955-0.06107161)×2.37879902910132e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37879902910132e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37879902910132e-05×40589641000000     		ar = 52267.6757970484m²