Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6681 / 1901
↖ ↑ ↗
← N 79.761655°
W 33.200683°		 ← 434.27 m → N 79.761655°
W 33.178711°		 →
↑
434.37 m
↓
↑
434.37 m
↓
N 79.757749°
W 33.200683°		 ← 434.43 m →
188 669 m²		 N 79.757749°
W 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.407806396484375 y=0.116058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.407806396484375 × 214)
    floor (0.407806396484375 × 16384)
    floor (6681.5)     		tx = 6681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116058349609375 × 214)
    floor (0.116058349609375 × 16384)
    floor (1901.5)     		ty = 1901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6681 / 1901 ti = "14/6681/1901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6681/1901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6681 ÷ 214
    6681 ÷ 16384     		x = 0.40777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1901 ÷ 214
    1901 ÷ 16384     		y = 0.11602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11602783203125 × 2 - 1) × π
    0.7679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41256828407819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57946124} λ = -0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41256828407819))-π/2
    2×atan(11.162593071924)-π/2
    2×1.48144991335926-π/2
    2.96289982671852-1.57079632675     		φ = 1.39210350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39210350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.761655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6681 KachelY 1901 -0.57946124 1.39210350 -33.200683 79.761655
    Oben rechts KachelX + 1 6682 KachelY 1901 -0.57907775 1.39210350 -33.178711 79.761655
    Unten links KachelX 6681 KachelY + 1 1902 -0.57946124 1.39203532 -33.200683 79.757749
    Unten rechts KachelX + 1 6682 KachelY + 1 1902 -0.57907775 1.39203532 -33.178711 79.757749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39210350-1.39203532) × R
    6.81799999999733e-05 × 6371000     		dl = 434.37477999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39210350-1.39203532) × R
    6.81799999999733e-05 × 6371000     		dr = 434.37477999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57946124--0.57907775) × cos(1.39210350) × R
    0.000383490000000042 × 0.177743366724794 × 6371000     		do = 434.265222406459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57946124--0.57907775) × cos(1.39203532) × R
    0.000383490000000042 × 0.177810460672948 × 6371000     		du = 434.429147332906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39210350)-sin(1.39203532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177743366724794-0.177810460672948)×R²
    abs(-0.57907775--0.57946124)×6.70939481531296e-05×R²
    0.000383490000000042×6.70939481531296e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.70939481531296e-05×40589641000000     		ar = 188669.462944712m²