Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66807 / 66607
↖ ↑ ↗
← S  2.940298°
E  3.490906°		 ← 305.02 m → S  2.940298°
E  3.493653°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.943041°
E  3.490906°		 ← 305.02 m →
93 026 m²		 S  2.943041°
E  3.493653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509700775146484 y=0.508174896240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509700775146484 × 217)
    floor (0.509700775146484 × 131072)
    floor (66807.5)     		tx = 66807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508174896240234 × 217)
    floor (0.508174896240234 × 131072)
    floor (66607.5)     		ty = 66607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66807 / 66607 ti = "17/66807/66607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66807/66607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66807 ÷ 217
    66807 ÷ 131072     		x = 0.509696960449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66607 ÷ 217
    66607 ÷ 131072     		y = 0.508171081542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509696960449219 × 2 - 1) × π
    0.0193939208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06092780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508171081542969 × 2 - 1) × π
    -0.0163421630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0513404194930801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06092780} λ = 0.06092780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0513404194930801))-π/2
    2×atan(0.949955232204599)-π/2
    2×0.759739223314049-π/2
    1.5194784466281-1.57079632675     		φ = -0.05131788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06092780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.490906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05131788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.940298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66807 KachelY 66607 0.06092780 -0.05131788 3.490906 -2.940298
    Oben rechts KachelX + 1 66808 KachelY 66607 0.06097574 -0.05131788 3.493653 -2.940298
    Unten links KachelX 66807 KachelY + 1 66608 0.06092780 -0.05136575 3.490906 -2.943041
    Unten rechts KachelX + 1 66808 KachelY + 1 66608 0.06097574 -0.05136575 3.493653 -2.943041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05131788--0.05136575) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05131788--0.05136575) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06092780-0.06097574) × cos(-0.05131788) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998683526547991 × 6371000     		do = 305.023655121751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06092780-0.06097574) × cos(-0.05136575) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998681069894921 × 6371000     		du = 305.022904796669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05131788)-sin(-0.05136575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998683526547991-0.998681069894921)×R²
    abs(0.06097574-0.06092780)×2.45665306963794e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.45665306963794e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.45665306963794e-06×40589641000000     		ar = 93025.9297843672m²