Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66798 / 66609
↖ ↑ ↗
← S  2.945784°
E  3.466187°		 ← 304.96 m → S  2.945784°
E  3.468933°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  2.948527°
E  3.466187°		 ← 304.96 m →
93 006 m²		 S  2.948527°
E  3.468933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509632110595703 y=0.508190155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509632110595703 × 217)
    floor (0.509632110595703 × 131072)
    floor (66798.5)     		tx = 66798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508190155029297 × 217)
    floor (0.508190155029297 × 131072)
    floor (66609.5)     		ty = 66609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66798 / 66609 ti = "17/66798/66609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66798/66609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66798 ÷ 217
    66798 ÷ 131072     		x = 0.509628295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66609 ÷ 217
    66609 ÷ 131072     		y = 0.508186340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509628295898438 × 2 - 1) × π
    0.019256591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.06049637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508186340332031 × 2 - 1) × π
    -0.0163726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0514362932923203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06049637} λ = 0.06049637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0514362932923203))-π/2
    2×atan(0.949864160753132)-π/2
    2×0.759691349639877-π/2
    1.51938269927975-1.57079632675     		φ = -0.05141363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06049637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.466187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05141363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.945784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66798 KachelY 66609 0.06049637 -0.05141363 3.466187 -2.945784
    Oben rechts KachelX + 1 66799 KachelY 66609 0.06054430 -0.05141363 3.468933 -2.945784
    Unten links KachelX 66798 KachelY + 1 66610 0.06049637 -0.05146150 3.466187 -2.948527
    Unten rechts KachelX + 1 66799 KachelY + 1 66610 0.06054430 -0.05146150 3.468933 -2.948527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05141363--0.05146150) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05141363--0.05146150) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06049637-0.06054430) × cos(-0.05141363) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998678610439428 × 6371000     		do = 304.958527801373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06049637-0.06054430) × cos(-0.05146150) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998676149208857 × 6371000     		du = 304.957776235009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05141363)-sin(-0.05146150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998678610439428-0.998676149208857)×R²
    abs(0.06054430-0.06049637)×2.46123057101588e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.46123057101588e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.46123057101588e-06×40589641000000     		ar = 93006.0670798795m²