Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66790 / 48884
↖ ↑ ↗
← N 41.533254°
E  3.444214°		 ← 228.63 m → N 41.533254°
E  3.446961°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
N 41.531198°
E  3.444214°		 ← 228.64 m →
52 264 m²		 N 41.531198°
E  3.446961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509571075439453 y=0.372959136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509571075439453 × 217)
    floor (0.509571075439453 × 131072)
    floor (66790.5)     		tx = 66790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.372959136962891 × 217)
    floor (0.372959136962891 × 131072)
    floor (48884.5)     		ty = 48884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66790 / 48884 ti = "17/66790/48884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66790/48884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66790 ÷ 217
    66790 ÷ 131072     		x = 0.509567260742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48884 ÷ 217
    48884 ÷ 131072     		y = 0.372955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509567260742188 × 2 - 1) × π
    0.019134521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.06011287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.372955322265625 × 2 - 1) × π
    0.25408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.798245252473175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06011287} λ = 0.06011287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.798245252473175))-π/2
    2×atan(2.22163909042389)-π/2
    2×1.14784418031874-π/2
    2.29568836063748-1.57079632675     		φ = 0.72489203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06011287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.444214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.72489203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.533254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66790 KachelY 48884 0.06011287 0.72489203 3.444214 41.533254
    Oben rechts KachelX + 1 66791 KachelY 48884 0.06016081 0.72489203 3.446961 41.533254
    Unten links KachelX 66790 KachelY + 1 48885 0.06011287 0.72485615 3.444214 41.531198
    Unten rechts KachelX + 1 66791 KachelY + 1 48885 0.06016081 0.72485615 3.446961 41.531198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.72489203-0.72485615) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.72489203-0.72485615) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06011287-0.06016081) × cos(0.72489203) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.748571016336947 × 6371000     		do = 228.63285660728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06011287-0.06016081) × cos(0.72485615) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.74859480625498 × 6371000     		du = 228.6401226606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.72489203)-sin(0.72485615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748571016336947-0.74859480625498)×R²
    abs(0.06016081-0.06011287)×2.37899180338674e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.37899180338674e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37899180338674e-05×40589641000000     		ar = 52264.353552906m²