Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66782 / 66653
↖ ↑ ↗
← S  3.066467°
E  3.422241°		 ← 304.92 m → S  3.066467°
E  3.424988°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.069210°
E  3.422241°		 ← 304.92 m →
92 996 m²		 S  3.069210°
E  3.424988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509510040283203 y=0.508525848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509510040283203 × 217)
    floor (0.509510040283203 × 131072)
    floor (66782.5)     		tx = 66782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508525848388672 × 217)
    floor (0.508525848388672 × 131072)
    floor (66653.5)     		ty = 66653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66782 / 66653 ti = "17/66782/66653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66782/66653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66782 ÷ 217
    66782 ÷ 131072     		x = 0.509506225585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66653 ÷ 217
    66653 ÷ 131072     		y = 0.508522033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509506225585938 × 2 - 1) × π
    0.019012451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05972938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508522033691406 × 2 - 1) × π
    -0.0170440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0535455168756027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05972938} λ = 0.05972938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0535455168756027))-π/2
    2×atan(0.947862796268918)-π/2
    2×0.758638189259642-π/2
    1.51727637851928-1.57079632675     		φ = -0.05351995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05972938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.422241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05351995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.066467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66782 KachelY 66653 0.05972938 -0.05351995 3.422241 -3.066467
    Oben rechts KachelX + 1 66783 KachelY 66653 0.05977731 -0.05351995 3.424988 -3.066467
    Unten links KachelX 66782 KachelY + 1 66654 0.05972938 -0.05356782 3.422241 -3.069210
    Unten rechts KachelX + 1 66783 KachelY + 1 66654 0.05977731 -0.05356782 3.424988 -3.069210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05351995--0.05356782) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05351995--0.05356782) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05972938-0.05977731) × cos(-0.05351995) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998568149305931 × 6371000     		do = 304.924797165412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05972938-0.05977731) × cos(-0.05356782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998565587384714 × 6371000     		du = 304.924014851949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05351995)-sin(-0.05356782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998568149305931-0.998565587384714)×R²
    abs(0.05977731-0.05972938)×2.56192121617094e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.56192121617094e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.56192121617094e-06×40589641000000     		ar = 92995.775229686m²