Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66778 / 66651
↖ ↑ ↗
← S  3.060982°
E  3.411255°		 ← 304.99 m → S  3.060982°
E  3.414002°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.063725°
E  3.411255°		 ← 304.99 m →
93 016 m²		 S  3.063725°
E  3.414002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509479522705078 y=0.508510589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509479522705078 × 217)
    floor (0.509479522705078 × 131072)
    floor (66778.5)     		tx = 66778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508510589599609 × 217)
    floor (0.508510589599609 × 131072)
    floor (66651.5)     		ty = 66651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66778 / 66651 ti = "17/66778/66651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66778/66651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66778 ÷ 217
    66778 ÷ 131072     		x = 0.509475708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66651 ÷ 217
    66651 ÷ 131072     		y = 0.508506774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509475708007812 × 2 - 1) × π
    0.018951416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05953763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508506774902344 × 2 - 1) × π
    -0.0170135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0534496430763626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05953763} λ = 0.05953763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0534496430763626))-π/2
    2×atan(0.947953675832769)-π/2
    2×0.758686057643462-π/2
    1.51737211528692-1.57079632675     		φ = -0.05342421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05953763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.411255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05342421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.060982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66778 KachelY 66651 0.05953763 -0.05342421 3.411255 -3.060982
    Oben rechts KachelX + 1 66779 KachelY 66651 0.05958557 -0.05342421 3.414002 -3.060982
    Unten links KachelX 66778 KachelY + 1 66652 0.05953763 -0.05347208 3.411255 -3.063725
    Unten rechts KachelX + 1 66779 KachelY + 1 66652 0.05958557 -0.05347208 3.414002 -3.063725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05342421--0.05347208) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05342421--0.05347208) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05953763-0.05958557) × cos(-0.05342421) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99857326628359 × 6371000     		do = 304.989978798859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05953763-0.05958557) × cos(-0.05347208) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998570708938891 × 6371000     		du = 304.989197719962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05342421)-sin(-0.05347208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99857326628359-0.998570708938891)×R²
    abs(0.05958557-0.05953763)×2.55734469878366e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.55734469878366e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.55734469878366e-06×40589641000000     		ar = 93015.6544975083m²