Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66776 / 66648
↖ ↑ ↗
← S  3.052754°
E  3.405762°		 ← 304.93 m → S  3.052754°
E  3.408508°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.055496°
E  3.405762°		 ← 304.93 m →
92 978 m²		 S  3.055496°
E  3.408508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509464263916016 y=0.508487701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509464263916016 × 217)
    floor (0.509464263916016 × 131072)
    floor (66776.5)     		tx = 66776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508487701416016 × 217)
    floor (0.508487701416016 × 131072)
    floor (66648.5)     		ty = 66648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66776 / 66648 ti = "17/66776/66648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66776/66648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66776 ÷ 217
    66776 ÷ 131072     		x = 0.50946044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66648 ÷ 217
    66648 ÷ 131072     		y = 0.50848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50946044921875 × 2 - 1) × π
    0.0189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05944176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.0169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0533058323775024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05944176} λ = 0.05944176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0533058323775024))-π/2
    2×atan(0.948090011516408)-π/2
    2×0.758757860678552-π/2
    1.5175157213571-1.57079632675     		φ = -0.05328061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05944176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.405762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05328061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.052754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66776 KachelY 66648 0.05944176 -0.05328061 3.405762 -3.052754
    Oben rechts KachelX + 1 66777 KachelY 66648 0.05948969 -0.05328061 3.408508 -3.052754
    Unten links KachelX 66776 KachelY + 1 66649 0.05944176 -0.05332847 3.405762 -3.055496
    Unten rechts KachelX + 1 66777 KachelY + 1 66649 0.05948969 -0.05332847 3.408508 -3.055496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05328061--0.05332847) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05328061--0.05332847) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05944176-0.05948969) × cos(-0.05328061) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998580924055504 × 6371000     		do = 304.92869808883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05944176-0.05948969) × cos(-0.05332847) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998578374108179 × 6371000     		du = 304.927919431739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05328061)-sin(-0.05332847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998580924055504-0.998578374108179)×R²
    abs(0.05948969-0.05944176)×2.54994732473701e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.54994732473701e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.54994732473701e-06×40589641000000     		ar = 92977.5385073981m²