Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66774 / 66634
↖ ↑ ↗
← S  3.014356°
E  3.400268°		 ← 305 m → S  3.014356°
E  3.403015°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.017098°
E  3.400268°		 ← 305 m →
93 020 m²		 S  3.017098°
E  3.403015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509449005126953 y=0.508380889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509449005126953 × 217)
    floor (0.509449005126953 × 131072)
    floor (66774.5)     		tx = 66774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508380889892578 × 217)
    floor (0.508380889892578 × 131072)
    floor (66634.5)     		ty = 66634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66774 / 66634 ti = "17/66774/66634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66774/66634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66774 ÷ 217
    66774 ÷ 131072     		x = 0.509445190429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66634 ÷ 217
    66634 ÷ 131072     		y = 0.508377075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509445190429688 × 2 - 1) × π
    0.018890380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05934588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508377075195312 × 2 - 1) × π
    -0.016754150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0526347157828217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05934588} λ = 0.05934588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0526347157828217))-π/2
    2×atan(0.948726504012836)-π/2
    2×0.759092948756269-π/2
    1.51818589751254-1.57079632675     		φ = -0.05261043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05934588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.400268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05261043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.014356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66774 KachelY 66634 0.05934588 -0.05261043 3.400268 -3.014356
    Oben rechts KachelX + 1 66775 KachelY 66634 0.05939382 -0.05261043 3.403015 -3.014356
    Unten links KachelX 66774 KachelY + 1 66635 0.05934588 -0.05265830 3.400268 -3.017098
    Unten rechts KachelX + 1 66775 KachelY + 1 66635 0.05939382 -0.05265830 3.403015 -3.017098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05261043--0.05265830) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05261043--0.05265830) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05934588-0.05939382) × cos(-0.05261043) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99861639050792 × 6371000     		do = 305.003150047031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05934588-0.05939382) × cos(-0.05265830) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998613872064083 × 6371000     		du = 305.002380849459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05261043)-sin(-0.05265830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99861639050792-0.998613872064083)×R²
    abs(0.05939382-0.05934588)×2.51844383680755e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.51844383680755e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.51844383680755e-06×40589641000000     		ar = 93019.6732735299m²