Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66771 / 66642
↖ ↑ ↗
← S  3.036298°
E  3.392029°		 ← 305 m → S  3.036298°
E  3.394776°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.039040°
E  3.392029°		 ← 305 m →
93 018 m²		 S  3.039040°
E  3.394776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509426116943359 y=0.508441925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509426116943359 × 217)
    floor (0.509426116943359 × 131072)
    floor (66771.5)     		tx = 66771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508441925048828 × 217)
    floor (0.508441925048828 × 131072)
    floor (66642.5)     		ty = 66642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66771 / 66642 ti = "17/66771/66642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66771/66642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66771 ÷ 217
    66771 ÷ 131072     		x = 0.509422302246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66642 ÷ 217
    66642 ÷ 131072     		y = 0.508438110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509422302246094 × 2 - 1) × π
    0.0188446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05920207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.016876220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0530182109797821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05920207} λ = 0.05920207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0530182109797821))-π/2
    2×atan(0.948362741710324)-π/2
    2×0.758901468397014-π/2
    1.51780293679403-1.57079632675     		φ = -0.05299339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05920207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.392029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05299339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.036298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66771 KachelY 66642 0.05920207 -0.05299339 3.392029 -3.036298
    Oben rechts KachelX + 1 66772 KachelY 66642 0.05925001 -0.05299339 3.394776 -3.036298
    Unten links KachelX 66771 KachelY + 1 66643 0.05920207 -0.05304126 3.392029 -3.039040
    Unten rechts KachelX + 1 66772 KachelY + 1 66643 0.05925001 -0.05304126 3.394776 -3.039040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05299339--0.05304126) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05299339--0.05304126) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05920207-0.05925001) × cos(-0.05299339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998596178883454 × 6371000     		do = 304.996976896628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05920207-0.05925001) × cos(-0.05304126) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998593642132895 × 6371000     		du = 304.996202107711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05299339)-sin(-0.05304126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998596178883454-0.998593642132895)×R²
    abs(0.05925001-0.05920207)×2.53675055905678e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.53675055905678e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.53675055905678e-06×40589641000000     		ar = 93017.789734914m²