Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66765 / 66641
↖ ↑ ↗
← S  3.033555°
E  3.375549°		 ← 305 m → S  3.033555°
E  3.378296°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.036298°
E  3.375549°		 ← 305 m →
93 018 m²		 S  3.036298°
E  3.378296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509380340576172 y=0.508434295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509380340576172 × 217)
    floor (0.509380340576172 × 131072)
    floor (66765.5)     		tx = 66765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508434295654297 × 217)
    floor (0.508434295654297 × 131072)
    floor (66641.5)     		ty = 66641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66765 / 66641 ti = "17/66765/66641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66765/66641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66765 ÷ 217
    66765 ÷ 131072     		x = 0.509376525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66641 ÷ 217
    66641 ÷ 131072     		y = 0.508430480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509376525878906 × 2 - 1) × π
    0.0187530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05891445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508430480957031 × 2 - 1) × π
    -0.0168609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.052970274080162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05891445} λ = 0.05891445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.052970274080162))-π/2
    2×atan(0.948408204369538)-π/2
    2×0.758925403229786-π/2
    1.51785080645957-1.57079632675     		φ = -0.05294552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05891445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.375549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05294552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.033555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66765 KachelY 66641 0.05891445 -0.05294552 3.375549 -3.033555
    Oben rechts KachelX + 1 66766 KachelY 66641 0.05896239 -0.05294552 3.378296 -3.033555
    Unten links KachelX 66765 KachelY + 1 66642 0.05891445 -0.05299339 3.375549 -3.036298
    Unten rechts KachelX + 1 66766 KachelY + 1 66642 0.05896239 -0.05299339 3.378296 -3.036298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05294552--0.05299339) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05294552--0.05299339) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05891445-0.05896239) × cos(-0.05294552) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998598713345693 × 6371000     		do = 304.997750986677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05891445-0.05896239) × cos(-0.05299339) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998596178883454 × 6371000     		du = 304.996976896672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05294552)-sin(-0.05299339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998598713345693-0.998596178883454)×R²
    abs(0.05896239-0.05891445)×2.53446223907883e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.53446223907883e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.53446223907883e-06×40589641000000     		ar = 93018.0259233049m²