Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66760 / 66484
↖ ↑ ↗
← S  2.602864°
E  3.361817°		 ← 305.05 m → S  2.602864°
E  3.364563°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.605608°
E  3.361817°		 ← 305.05 m →
93 052 m²		 S  2.605608°
E  3.364563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509342193603516 y=0.507236480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509342193603516 × 217)
    floor (0.509342193603516 × 131072)
    floor (66760.5)     		tx = 66760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507236480712891 × 217)
    floor (0.507236480712891 × 131072)
    floor (66484.5)     		ty = 66484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66760 / 66484 ti = "17/66760/66484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66760/66484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66760 ÷ 217
    66760 ÷ 131072     		x = 0.50933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66484 ÷ 217
    66484 ÷ 131072     		y = 0.507232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50933837890625 × 2 - 1) × π
    0.0186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05867477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.01446533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0454441808398132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05867477} λ = 0.05867477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0454441808398132))-π/2
    2×atan(0.955572940362334)-π/2
    2×0.762683889785553-π/2
    1.52536777957111-1.57079632675     		φ = -0.04542855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05867477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.361817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04542855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.602864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66760 KachelY 66484 0.05867477 -0.04542855 3.361817 -2.602864
    Oben rechts KachelX + 1 66761 KachelY 66484 0.05872270 -0.04542855 3.364563 -2.602864
    Unten links KachelX 66760 KachelY + 1 66485 0.05867477 -0.04547643 3.361817 -2.605608
    Unten rechts KachelX + 1 66761 KachelY + 1 66485 0.05872270 -0.04547643 3.364563 -2.605608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04542855--0.04547643) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04542855--0.04547643) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05867477-0.05872270) × cos(-0.04542855) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998968300871787 × 6371000     		do = 305.04698825987m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05867477-0.05872270) × cos(-0.04547643) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998966125355823 × 6371000     		du = 305.046323939899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04542855)-sin(-0.04547643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998968300871787-0.998966125355823)×R²
    abs(0.05872270-0.05867477)×2.17551596359833e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.17551596359833e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17551596359833e-06×40589641000000     		ar = 93052.4935568435m²