Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66757 / 66495
↖ ↑ ↗
← S  2.633045°
E  3.353576°		 ← 305.10 m → S  2.633045°
E  3.356323°		 →
↑
305.11 m
↓
↑
305.11 m
↓
S  2.635789°
E  3.353576°		 ← 305.10 m →
93 089 m²		 S  2.635789°
E  3.356323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509319305419922 y=0.507320404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509319305419922 × 217)
    floor (0.509319305419922 × 131072)
    floor (66757.5)     		tx = 66757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507320404052734 × 217)
    floor (0.507320404052734 × 131072)
    floor (66495.5)     		ty = 66495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66757 / 66495 ti = "17/66757/66495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66757/66495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66757 ÷ 217
    66757 ÷ 131072     		x = 0.509315490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66495 ÷ 217
    66495 ÷ 131072     		y = 0.507316589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509315490722656 × 2 - 1) × π
    0.0186309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05853095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507316589355469 × 2 - 1) × π
    -0.0146331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0459714867356339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05853095} λ = 0.05853095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0459714867356339))-π/2
    2×atan(0.955069193942895)-π/2
    2×0.762420512013807-π/2
    1.52484102402761-1.57079632675     		φ = -0.04595530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05853095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.353576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04595530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.633045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66757 KachelY 66495 0.05853095 -0.04595530 3.353576 -2.633045
    Oben rechts KachelX + 1 66758 KachelY 66495 0.05857889 -0.04595530 3.356323 -2.633045
    Unten links KachelX 66757 KachelY + 1 66496 0.05853095 -0.04600319 3.353576 -2.635789
    Unten rechts KachelX + 1 66758 KachelY + 1 66496 0.05857889 -0.04600319 3.356323 -2.635789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04595530--0.04600319) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dl = 305.107190000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04595530--0.04600319) × R
    4.78900000000018e-05 × 6371000     		dr = 305.107190000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05853095-0.05857889) × cos(-0.04595530) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998944241024443 × 6371000     		do = 305.10328403365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05853095-0.05857889) × cos(-0.04600319) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998942039854171 × 6371000     		du = 305.10261173959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04595530)-sin(-0.04600319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998944241024443-0.998942039854171)×R²
    abs(0.05857889-0.05853095)×2.20117027238675e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.20117027238675e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.20117027238675e-06×40589641000000     		ar = 93089.1031081978m²